Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o máximo divisor comum de
e
para saber se a equação tem solução inteira. Aplicamos o algoritmo de Euclides:
Portanto
.
Passo 3
Teorema importante (explicação didática): a equação linear
divide
. Aqui
e
divide
porque
. Logo a equação tem soluções inteiras. Para simplificar, dividimos toda a equação por
:
Agora trabalhamos com coeficientes coprimos (
).)
Passo 4
Método para encontrar todas as soluções inteiras (explicação): quando
, se encontramos uma solução particular
de
, então todas as soluções inteiras são dadas por
para
. Aqui
e
. Vamos achar uma solução particular da equação
Passo 5
Para encontrar uma solução particular uso congruência modular (explicação didática): fixo
ou
módulo do outro coeficiente. Por exemplo, reduzindo a equação módulo
obtemos
Precisamos do inverso multiplicativo de
módulo
. Usando a versão estendida do algoritmo de Euclides (já calculada atrás quando determinámos
entre
e
), encontramos a identidade
Isto mostra que
é inverso de
módulo
. Em termos positivos, o inverso de
modulo
é
. Então
Calculando
e reduzindo módulo
:
Logo
Um representante conveniente é
.
Passo 6
Com
achamos
substituindo em
:
Portanto
Assim uma solução particular é
.
Passo 7
Aplicando a fórmula geral de todas as soluções inteiras (explicação): como
, todas as soluções inteiras de
são
para
. Observação: esta forma é equivalente à forma com sinal trocado em
que alguns usam; ambas descrevem o mesmo conjunto. (Se preferir trocar
obtemos a forma
para
.)
Passo 8
Agora impomos as condições de positividade
e
. Usando a forma
exigimos:
já que
é inteiro.
E também
E também
Portanto as duas desigualdades exigem simultaneamente
e
, o que é impossível. Consequentemente não existe
que torne
e
ambos positivos.
Passo 9
Conclusão final (explicação resumida): a equação tem soluções inteiras, mas nenhuma delas satisfaz
e
ao mesmo tempo.
Resposta
Não existem soluções inteiras e positivas para a equação
.