Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
90 x+28 y=22

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear
90x+28y=22
Informações dadas:
\text{coeficientes }90\text{ e }28,\quad\text{termo independente }22,\quad x,y\in\mathbb{Z}\text{ e queremos }x>0,\;y>0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o máximo divisor comum de 90 e 28 para saber se a equação tem solução inteira. Aplicamos o algoritmo de Euclides:
90 = 28\cdot3 + 6,
28 = 6\cdot4 + 4,
6 = 4\cdot1 + 2,
4 = 2\cdot2 + 0.
Portanto \gcd(90,28)=2.

Passo 3

Teorema importante (explicação didática): a equação linear \,ax+by=c\,$ tem solução inteira se, e somente se, \(\gcd(a,b) divide c. Aqui \gcd(90,28)=2 e 2 divide 22 porque 22/2=11. Logo a equação tem soluções inteiras. Para simplificar, dividimos toda a equação por 2:
45x+14y=11.
Agora trabalhamos com coeficientes coprimos ( \gcd(45,14)=1).)

Passo 4

Método para encontrar todas as soluções inteiras (explicação): quando \gcd(a,b)=1, se encontramos uma solução particular (x_0,y_0) de ax+by=c, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + b\cdot t,\qquad y = y_0 - a\cdot t,
para t\in\mathbb{Z}. Aqui a=45 e b=14. Vamos achar uma solução particular da equação
45x+14y=11.

Passo 5

Para encontrar uma solução particular uso congruência modular (explicação didática): fixo x ou y módulo do outro coeficiente. Por exemplo, reduzindo a equação módulo 45 obtemos
14y \equiv 11 \pmod{45}.
Precisamos do inverso multiplicativo de 14 módulo 45. Usando a versão estendida do algoritmo de Euclides (já calculada atrás quando determinámos \gcd entre 45 e 14), encontramos a identidade
1 = 5\cdot45 - 16\cdot14.
Isto mostra que -16 é inverso de 14 módulo 45. Em termos positivos, o inverso de 14 modulo 45 é -16\equiv 29\pmod{45}. Então
y \equiv 29\cdot 11 \pmod{45}.
Calculando 29\cdot11=319 e reduzindo módulo 45:
319 = 45\cdot7 + 4 \quad\Rightarrow\quad 319\equiv4\pmod{45}.
Logo
y\equiv4\pmod{45}.
Um representante conveniente é y_0=4.

Passo 6

Com y_0=4 achamos x_0 substituindo em \,45x+14y=11:
45x + 14\cdot 4 = 11 \quad\Rightarrow\quad 45x + 56 = 11 \quad\Rightarrow\quad 45x = -45.
Portanto
x = -1.
Assim uma solução particular é (x_0,y_0)=(-1,4).

Passo 7

Aplicando a fórmula geral de todas as soluções inteiras (explicação): como \gcd(45,14)=1, todas as soluções inteiras de \,45x+14y=11 são
x = -1 + 14t,\qquad y = 4 - 45t,
para t\in\mathbb{Z}. Observação: esta forma é equivalente à forma com sinal trocado em t que alguns usam; ambas descrevem o mesmo conjunto. (Se preferir trocar t\mapsto -t obtemos a forma
x = -1 -14t,\qquad y = 4 +45t,
para t\in\mathbb{Z}.)

Passo 8

Agora impomos as condições de positividade x>0 e y>0. Usando a forma
x = -1 + 14t,\qquad y = 4 - 45t,
exigimos:
-1 + 14t > 0 \quad\Rightarrow\quad 14t > 1 \quad\Rightarrow\quad t > \tfrac{1}{14}\quad\Rightarrow\quad t\ge 1,
já que t é inteiro.
E também
4 - 45t > 0 \quad\Rightarrow\quad -45t > -4 \quad\Rightarrow\quad 45t < 4 \quad\Rightarrow\quad t < \tfrac{4}{45}\quad\Rightarrow\quad t\le 0.
Portanto as duas desigualdades exigem simultaneamente t\ge 1 e t\le 0, o que é impossível. Consequentemente não existe t\in\mathbb{Z} que torne x e y ambos positivos.

Passo 9

Conclusão final (explicação resumida): a equação tem soluções inteiras, mas nenhuma delas satisfaz x>0 e y>0 ao mesmo tempo.

Resposta

Não existem soluções inteiras e positivas para a equação 90x+28y=22.

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