Sejam a, b e c inteiros. Demonstrar:
Se m d c(a, b c)=1, então o m d c(a c, b)=m d c(b, c). Portanto, todo divisor de d é divisor de a c.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são inteiros e que
\gcd(a,bc)=1.
Pede para demonstrar que
\gcd(ac,b)=\gcd(b,c),
e, a partir disso, concluir que todo divisor de d é divisor de ac. Aqui vou tomar d=\gcd(b,c) (isso não foi dito explicitamente, mas é a notação natural para a segunda parte). Então as informações relevantes são:
\gcd(a,bc)=1 \qquad\text{e}\qquad d=\gcd(b,c).
Não resolvo nada ainda; só listei o que temos e o que precisamos provar.

Passo 2

Fatoramos b e c em função de d. Como d=\gcd(b,c), existem inteiros b_1 e c_1 tais que
b=d\,b_1,\qquad c=d\,c_1
e \gcd(b_1,c_1)=1. Explico por quê: dividir b e c pelo seu máximo divisor comum produz duas partes que não têm mais fatores em comum — essa é uma forma padrão de escrever números quando se isola o gcd.

Passo 3

Escrevo \gcd(ac,b) usando a fatoração acima:
\gcd(ac,b)=\gcd\big(a\,(d\,c_1),\,d\,b_1\big).
Existe uma propriedade geral de máximo divisor comum que vamos usar agora: para todo inteiro k (positivo) e inteiros x,y vale
\gcd(kx,ky)=k\cdot\gcd(x,y).
Vou justificar essa propriedade: qualquer divisor comum de kx e ky tem de ser múltiplo dos fatores primos de k e também dividir k\gcd(x,y); formalmente, retirando o fator k (ou dividindo ambos por |k| se quisermos os positivos) sobra o gcd entre x e y. Assim, aplicando com k=d, x=ac_1 e y=b_1, obtemos
\gcd\big(a\,(d\,c_1),\,d\,b_1\big)=d\cdot\gcd(a c_1,b_1).

Passo 4

Agora precisamos mostrar que
\gcd(a c_1,b_1)=1.
Usamos a hipótese \gcd(a,bc)=1. Substituindo b=d b_1 e c=d c_1 temos
\gcd(a,\,bc)=\gcd\big(a,\,d^2 b_1 c_1\big)=1.
Em particular, qualquer primo p que divida b_1 divide b (porque b=d b_1), e assim divide bc. Se p dividisse também a, então p dividiria \gcd(a,bc), contradizendo \gcd(a,bc)=1. Logo nenhum primo divisor de b_1 pode dividir a, ou seja,
\gcd(a,b_1)=1.
Também, qualquer primo divisor de b_1 não pode dividir c_1 porque \gcd(b_1,c_1)=1 por construção. Assim, nenhum primo divisor de b_1 divide a nem c_1. Portanto nenhum primo divisor de b_1 divide o produto a c_1. Isso significa exatamente que
\gcd(a c_1,b_1)=1.

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3, como \gcd(a c_1,b_1)=1 temos
\gcd(ac,b)=d\cdot 1=d.
Mas d=\gcd(b,c) por definição. Assim concluímos a igualdade desejada:
\gcd(ac,b)=\gcd(b,c).

Passo 6

A consequência pedida: como \gcd(ac,b)=d, isso significa que d divide ac (definição: o gcd de dois números divide cada um deles). Logo qualquer divisor de d também divide ac: se e divide d e d divide ac, então e divide ac. Portanto todo divisor de d é divisor de ac.

Resposta

\gcd(ac,b)=\gcd(b,c)
Todo divisor de d (com d=\gcd(b,c)) divide ac.

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