Sejam
e
inteiros. Demonstrar:
Se
, então o
. Portanto, todo divisor de
é divisor de
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
são inteiros e que
Pede para demonstrar que
e, a partir disso, concluir que todo divisor de
é divisor de
. Aqui vou tomar
(isso não foi dito explicitamente, mas é a notação natural para a segunda parte). Então as informações relevantes são:
Não resolvo nada ainda; só listei o que temos e o que precisamos provar.
Passo 2
Fatoramos
e
em função de
. Como
, existem inteiros
e
tais que
e
. Explico por quê: dividir
e
pelo seu máximo divisor comum produz duas partes que não têm mais fatores em comum — essa é uma forma padrão de escrever números quando se isola o gcd.
Passo 3
Escrevo
usando a fatoração acima:
Existe uma propriedade geral de máximo divisor comum que vamos usar agora: para todo inteiro
(positivo) e inteiros
vale
Vou justificar essa propriedade: qualquer divisor comum de
e
tem de ser múltiplo dos fatores primos de
e também dividir
; formalmente, retirando o fator
(ou dividindo ambos por
se quisermos os positivos) sobra o gcd entre
e
. Assim, aplicando com
,
e
, obtemos
Passo 4
Agora precisamos mostrar que
Usamos a hipótese
. Substituindo
e
temos
Em particular, qualquer primo
que divida
divide
(porque
), e assim divide
. Se
dividisse também
, então
dividiria
, contradizendo
. Logo nenhum primo divisor de
pode dividir
, ou seja,
Também, qualquer primo divisor de
não pode dividir
porque
por construção. Assim, nenhum primo divisor de
divide
nem
. Portanto nenhum primo divisor de
divide o produto
. Isso significa exatamente que
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 3, como
temos
Mas
por definição. Assim concluímos a igualdade desejada:
Passo 6
A consequência pedida: como
, isso significa que
divide
(definição: o gcd de dois números divide cada um deles). Logo qualquer divisor de
também divide
: se
divide
e
divide
, então
divide
. Portanto todo divisor de
é divisor de
.
Resposta
Todo divisor de