Na minha escola, há 180 alunos na 5^{a} série, 168 na 6^{a} série, 144 na 7^{a} série e 120 na 8^{a}. Para uma feira de ciências, todos esses alunos serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar alunos de série diferentes.
a. Qual o número máximo de alunos que pode haver em cada grupo? R: Pode ter no máximo 12 pessoas.
b. Quantos grupos serão formadas em cada uma das séries? R: 15 grupos na 5^{\mathrm{a}} série; 14 grupos na 6^{\text {a }} série; 12 grupos na 7^{\text {a }} série e 10 grupos na 8^{\text {a }} série.

Passo 1

O enunciado dá o número de alunos em cada série e pede duas coisas:
  • Quantidade máxima de alunos que pode haver em cada grupo, sabendo que todos os grupos devem ter o mesmo número de alunos e que não se pode misturar alunos de séries diferentes.
  • Quantos grupos serão formados em cada série usando esse número máximo de alunos por grupo.
Informações fornecidas:
\,180 alunos na 5^{\mathrm{a}} série.
\,168 alunos na 6^{\mathrm{a}} série.
\,144 alunos na 7^{\mathrm{a}} série.
\,120 alunos na 8^{\mathrm{a}} série.

Passo 2

O que significa “mesmo número de elementos” e “máximo” aqui (explicação didática): o número de alunos por grupo deve ser um divisor (um número inteiro que divide exatamente) de cada uma das quantidades dadas, porque não podemos deixar aluno sobrando em nenhuma série. Entre todos os divisores comuns a todas as séries, queremos o maior — esse maior divisor comum é o que chama-se máximo divisor comum, abreviado MDC. Então o problema a) é achar o \mathrm{MDC} de \,180,\,168,\,144,\,120.
Breve explicação do método que vou usar: o método mais direto é aplicar o algoritmo de Euclides para obter o \mathrm{MDC} em passos de divisões sucessivas. Também vou mostrar a checagem por fatoração em primos (útil para entender por que o resultado é aquele).

Passo 3

Calcular \mathrm{MDC}(180,168,144,120) usando o algoritmo de Euclides em cadeia. Lembre que \mathrm{MDC}(a,b,c,d)=\mathrm{MDC}(\mathrm{MDC}(\mathrm{MDC}(a,b),c),d).
  1. Começo por \mathrm{MDC}(180,168). Faço a divisão inteira:
180 = 168\cdot 1 + 12.
Como o resto é 12, agora calculo \mathrm{MDC}(168,12). Faço:
168 = 12\cdot 14 + 0.
Resto 0 significa que \mathrm{MDC}(168,12)=12. Logo
\mathrm{MDC}(180,168)=12.

Passo 4

Continuo pegando esse resultado com as outras quantidades:
  1. Calculo \mathrm{MDC}(12,144). Faço a divisão:
144 = 12\cdot 12 + 0.
Resto 0 então \mathrm{MDC}(12,144)=12.
  1. Calculo \mathrm{MDC}(12,120). Faço:
120 = 12\cdot 10 + 0.
Resto 0 então \mathrm{MDC}(12,120)=12.
Portanto o \mathrm{MDC} de todas as quatro quantidades é \,12. Esse é o maior número de alunos que podemos colocar em cada grupo sem deixar sobra em nenhuma série.

Passo 5

Checagem por fatoração em primos (explicação adicional para fixar a ideia):
  • Faço fatoração de cada número:
180 = 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5,
168 = 2^{3}\cdot 3^{1}\cdot 7,
144 = 2^{4}\cdot 3^{2},
120 = 2^{3}\cdot 3^{1}\cdot 5.
Para obter o \mathrm{MDC} tomo as bases primos comuns com o menor expoente entre eles: para 2 o menor expoente é 2, para 3 é 1, 5 e 7 não estão em todos. Então
\mathrm{MDC} = 2^{2}\cdot 3^{1} = 4\cdot 3 = 12,
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Agora que sabemos que cada grupo pode ter no máximo \,12 alunos, calculamos quantos grupos surgem em cada série dividindo o total de alunos daquela série por \,12.
Divisões:
\frac{180}{12}=15 \quad\text{(portanto \(15\) grupos na \(5^{\mathrm{a}}\) série)},é
\frac{168}{12}=14 \quad\text{(portanto \(14\) grupos na \(6^{\mathrm{a}}\) série)},é
\frac{144}{12}=12 \quad\text{(portanto \(12\) grupos na \(7^{\mathrm{a}}\) série)},é
\frac{120}{12}=10 \quad\text{(portanto \(10\) grupos na \(8^{\mathrm{a}}\) série)}.é

Passo 7

Resumo rápido e empurrãozinho final: o raciocínio-chave é sempre transformar o pedido “mesmo número e máximo” em “maior divisor comum” e usar Euclides (divisões sucessivas) ou fatoração em primos para encontrar o valor. Na prova, faça as divisões como em Passo 3 — é rápido e seguro.

Resposta

a. \,12
b. 15 grupos na 5^{\mathrm{a}} série; 14 grupos na 6^{\mathrm{a}} série; 12 grupos na 7^{\mathrm{a}} série; 10 grupos na 8^{\mathrm{a}} série.

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