Determinar usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação f(x)=4 cos x-e^x=0 com erro inferior a 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz positiva da equação
f(x)=4cos x - e^x = 0
usando o método de Newton com erro menor que 10^-2.
Vamos precisar de:
  1. A fórmula de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
  1. A derivada
f'(x) = -4sin x - e^x
  1. Um palpite inicial x0 na vizinhança da raiz.

Passo 2

Primeiro, localizamos o intervalo onde existe raiz positiva. Calculamos
f(0) = 4cos0 - e^0 = 4 - 1 = 3 > 0,
f(1) = 4cos1 - e^1 approx 2,16 - 2,72 = -0,56 < 0
Logo há uma raiz em (0,1). Escolhemos x0 = 0,9.

Passo 3

Aplicamos a iteração de Newton em x0=0,9. Calculamos
f(0,9) = 4cos(0,9) - e^0,9 approx 2,4865 - 2,4600 = 0,0265,
f'(0,9) = -4sin(0,9) - e^0,9 approx -4cdot0,7833 - 2,4600 = -5,5932
Então
x1 = 0,9 - 0,0265-5,5932 approx 0,9047

Passo 4

Verificamos o critério de parada usando lvert x1 - x0rvert:
lvert 0,9047 - 0,9rvert = 0,0047 < 10^-2
Como a diferença entre iterações já é menor que a tolerância, podemos parar aqui.

Resposta

A menor raiz positiva é aproximadamente
x approx 0,905

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