Dadas as equações x^3+3 x-1=0 e x^2-sin x=0, pesquise a existência de raízes reais e as isole em intervalos.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações
x^3 + 3x - 1 = 0
e
x^2 - sin x = 0
Queremos usar continuidade e o Teorema do Valor Intermediário para mostrar onde existem raízes reais e encontrar intervalos que contenham cada raiz.

Passo 2

Defina f(x)=x^3+3x-1. Como é um polinômio de grau ímpar, existe pelo menos uma raiz real. Para isolar essa raiz, calculamos valores de f em pontos próximos:
f(0,3)=(0,3)^3+3cdot0,3-1=0,027+0,9-1=-0,073,
f(0,4)=(0,4)^3+3cdot0,4-1=0,064+1,2-1=0,264
Vemos que f(0,3)<0 e f(0,4)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe, portanto, uma raiz em (0,3,0,4). Como o discriminante desse cúbico é negativo, essa é a única raiz real.

Passo 3

Defina g(x)=x^2-sin x. Ela é contínua em R. Primeiro isolamos a raiz trivial x=0 examinando sinais em torno de zero:
g(-0,1)=(-0,1)^2-sin(-0,1)=0,01+0,0998=0,1098>0,
g(0,1)=(0,1)^2-sin(0,1)=0,01-0,0998=-0,0898<0
Logo há uma raiz em (-0,1,0,1), que de fato é x=0.
Em seguida buscamos outra raiz para x>0. Calculamos
g(0,8)=(0,8)^2-sin(0,8)=0,64-0,7174=-0,0774<0,
g(0,9)=(0,9)^2-sin(0,9)=0,81-0,7833=0,0267>0
Como o sinal muda de negativo para positivo, existe mais uma raiz em (0,8,0,9). Para x< -0,1 e x>0,9 não ocorrem outras mudanças de sinal, logo não há outras raízes reais.

Resposta

A primeira equação x^3+3x-1=0 tem uma única raiz real em
(0,3,0,4).
A segunda equação x^2-sin x=0 tem duas raízes reais:
uma em (-0,1,0,1) (que é x=0) e outra em (0,8,0,9).

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