Dadas as equações
e
, pesquise a existência de raízes reais e as isole em intervalos.
Passo 1
O enunciado nos dá duas equações
e
Queremos usar continuidade e o Teorema do Valor Intermediário para mostrar onde existem raízes reais e encontrar intervalos que contenham cada raiz.
Passo 2
Defina
. Como é um polinômio de grau ímpar, existe pelo menos uma raiz real. Para isolar essa raiz, calculamos valores de
em pontos próximos:
Vemos que
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe, portanto, uma raiz em
. Como o discriminante desse cúbico é negativo, essa é a única raiz real.
Passo 3
Defina
. Ela é contínua em
. Primeiro isolamos a raiz trivial
examinando sinais em torno de zero:
Logo há uma raiz em
, que de fato é
.
Em seguida buscamos outra raiz para . Calculamos
Em seguida buscamos outra raiz para
Como o sinal muda de negativo para positivo, existe mais uma raiz em
. Para
e
não ocorrem outras mudanças de sinal, logo não há outras raízes reais.
Resposta
A primeira equação
tem uma única raiz real em
.
A segunda equação tem duas raízes reais:
uma em (que é
) e outra em
.
A segunda equação
uma em