Classifique os sistemas lineares triangulares e encontre as soluções utilizando o método de substituição retroativa ou sucessiva:
rllc5 x1-2 x2+6 x3+x4 & = & 1 +3 x2+7 x3-4 x4 & = & -2 + & +4 x3+5 x4= & 28 & +2 x4= & 8

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
5x1-2x2+6x3+x4=1, 5+3x2+7x3-4x4=-2, 5x1-2+4x3+5x4=28, 5x1-2x2+6x3+2x4=8,
que é claramente triangular superior. O que precisamos é aplicar o método de substituição retroativa (back-substitution) para encontrar ,x4,x3,x2,x1.

Passo 2

Observamos os coeficientes da diagonal principal:
2,;4,;3,;5,
todos diferentes de zero. Logo, o sistema é compatível determinado e possui solução única. Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 3

Da última equação temos
2x4=8
logo
x4 = 82 = 4

Passo 4

Na terceira equação
4x3+5x4=28
substituindo x4=4 vem
4x3+5cdot4=28 Longrightarrow 4x3+20=28 Longrightarrow 4x3=8 Longrightarrow x3=2

Passo 5

Na segunda equação
3x2+7x3-4x4=-2
substituindo x3=2 e x4=4 vem
3x2+7cdot2-4cdot4=-2 Longrightarrow 3x2+14-16=-2 Longrightarrow 3x2-2=-2 Longrightarrow 3x2=0 Longrightarrow x2=0

Passo 6

Na primeira equação
5x1-2x2+6x3+x4=1
substituindo x2=0, x3=2 e x4=4 vem
5x1-2cdot0+6cdot2+4=1 Longrightarrow 5x1+12+4=1 Longrightarrow 5x1+16=1 Longrightarrow 5x1=-15 Longrightarrow x1=-3

Resposta

O sistema é triangular superior, compatível determinado, e a solução única é
(x1,x2,x3,x4) = (-3,,0,,2,,4)

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