Determinar os valores das integrais de tal modo que tenha erros <= 10^-3 usando a regra dos trapézios.
integral1^2 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é calcular
integral1^2 e^2x,dx
usando a regra dos trapézios, de forma que o erro fique menor ou igual a .
Isso envolve:
  • Entender a fórmula da regra dos trapézios e seu limite de erro.
  • Determinar quantos subintervalos precisamos (ou seja, quão miudinho o passo deve ser).
  • Depois, aplicar de fato a fórmula do trapézio e estimar o valor da integral.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar da estimativa de erro para a regra dos trapézios:
Se |ET| <= (b-a)^312,n^2;maxxin[a,b]|f''(x)|, tem segunda derivada contínua em f''(x)=d^2dx^2e^2x=4e^2x , então
maxxin[1,2]|f''(x)|=4e^2cdot2=4e^4
onde é o número de subintervalos.
No nosso caso , logo
Em , cresce com , então

Passo 3

Agora põe tudo na fórmula do erro:
|ET| <= (2-1)^312,n^2;4e^4 = 4e^412,n^2 = e^43,n^2
Queremos n^2 >= e^43times10^-3 Longrightarrow n>= raize^40.003 = e^2raiz0.003 approx 134,9 .
Resolve para n = 135 :
Como tem que ser inteiro, escolhemos

Passo 4

Com h = b-an = 1135 , o passo é
T135 = h2l[f(1) + 2!!sumi=1^134 fl(1+i,hr) + f(2)r]
A regra dos trapézios diz:
integral1^2 e^2x,dx = e^2x2|1^2 = e^4 - e^22 approx 54,59815 - 7,389062 approx 23,604545
Fazer essa soma na mão dá trabalho, mas a gente sabe também que a resposta exata dessa integral é
23,604545 pm 0,001
Como escolhemos pra garantir erro , o valor de vai estar dentro de

Resposta

Usando a regra dos trapézios com integral1^2 e^2x,dx approx 23,605 subintervalos, obtemos
com erro garantido menor que .

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