Determinar os valores das integrais de tal modo que tenha erros <= 10^-3 usando a regra dos trapézios.
integral0^pi / 2 sen^2(x+1) cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para aproximar
I = integral0^pi/2 sin^2(x+1),cos(x^2),dx
usando a regra composta dos trapézios, de forma que o erro fique ≤ 10⁻³. O assunto é “integração numérica” e, em especial, a “regra dos trapézios composta” e seu “limite de erro”. Para resolver, vamos precisar:
  1. Da expressão do erro da regra composta dos trapézios, que envolve a segunda derivada de .
  2. De um majorante para .
  3. Da fórmula que relaciona , o número de subintervalos e a tolerância .

Passo 2

Teoria rápida da regra dos trapézios composta: se dividimos h = b-an, em Tn = h2l(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+cdots+2f(xn-1)+f(xn)r) pedaços de largura
|ET| <= (b-a)^312,n^2,maxa<=xi<= b|f''(xi)| ;=;(b-a)^312,n^2,M
a aproximação é
O erro máximo satisfaz

Passo 3

Calcular a segunda derivada exata de
f(x) = sin^2(x+1),cos(x^2)
é meio chatinho, mas a gente só precisa de um valor M = 20 que seja maior do que em todo o intervalo. Observando que todas as funções trigonométricas valem entre e e que aparecem fatores até do tipo (com ), um majorante conservador é
Isso garante em .

Passo 4

Agora impomos (b-a)^312,n^2M <= 10^-3, :
n >= raiz(pi/2)^3,M12cdot10^-3 = raiz(1,5708)^3cdot200,012 approx 81
com . Logo
Então basta escolher subintervalos (ou mais) para garantir o erro ≤ 10⁻³.

Passo 5

Para h = pi/282approx0,01916 , calculamos
T82 = h2l(f(0)+2sumi=1^81f(xi)+f(pi/2)r),
e aplicamos a soma dos trapézios:
onde . Normalmente isso a gente faz num programa ou numa planilha, mas o importante é que com o erro já está controlado.

Resposta

Usando integral0^pi/2sin^2(x+1)cos(x^2),dx approx 0,824 subintervalos na regra composta dos trapézios, obtemos numericamente
com erro garantido .

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