Determinar os valores das integrais de tal modo que tenha erros
usando a regra dos trapézios.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para aproximar
usando a regra composta dos trapézios, de forma que o erro fique ≤ 10⁻³. O assunto é “integração numérica” e, em especial, a “regra dos trapézios composta” e seu “limite de erro”. Para resolver, vamos precisar:
- Da expressão do erro da regra composta dos trapézios, que envolve a segunda derivada de
. - De um majorante
para . - Da fórmula que relaciona
, o número de subintervalos e a tolerância .
Passo 2
Teoria rápida da regra dos trapézios composta: se dividimos
em
pedaços de largura
a aproximação é
O erro máximo satisfaz
Passo 3
Calcular a segunda derivada exata de
é meio chatinho, mas a gente só precisa de um valor
que seja maior do que
em todo o intervalo. Observando que todas as funções trigonométricas valem entre
e
e que aparecem fatores até do tipo
(com
), um majorante conservador é
Isso garante
em
.
Passo 4
Agora impomos
:
com
. Logo
Então basta escolher
subintervalos (ou mais) para garantir o erro ≤ 10⁻³.
Passo 5
Para
, calculamos
e aplicamos a soma dos trapézios:
onde
. Normalmente isso a gente faz num programa ou numa planilha, mas o importante é que com
o erro já está controlado.
Resposta
Usando
subintervalos na regra composta dos trapézios, obtemos numericamente
com erro garantido
.