Determinar os valores das integrais de tal modo que tenha erros <= 10^-3 usando a regra dos trapézios.
integral-2^-1 x^2(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é estimar
I = integral-2^-1 x^2(x-1)^2 , dx
usando a regra dos trapézios de modo que o erro seja ≤ 10^{-3}.
Conteúdo: método numérico (regra dos trapézios) e cota de erro via f’’(x).
Vamos precisar de:
  1. achar f’’(x) para usar a fórmula da cota de erro;
  2. escolher o número de subintervalos n garantindo erro ≤ 10^{-3};
  3. aplicar a regra dos trapézios com esse n.

Passo 2

Primeiro, identifica f(x) e calcula f’’(x).
f(x)=x^2(x-1)^2 ,
Derivando:
f'(x) =2x,(x-1)^-2-2x^2,(x-1)^-3 =-2x(x-1)^3
Derivando de novo:
f''(x) =ddxl(-2x,(x-1)^-3r) =-2(x-1)^3+6x,(x-1)^-4 =2,(2x+1)(x-1)^4,
Agora a gente precisa do maior valor de |f’’(x)| em x∈[-2,−1].
Calculando nos extremos:
|f''(-2)|=l|2(2(-2)+1)(-3)^4r| =681approx0,0741 e |f''(-1)|=l|2(2(-1)+1)(-2)^4r| =216=0,125
Logo, podemos tomar
M2=max[-2,-1]|f''(x)|=0,125

Passo 3

A cota de erro da regra dos trapézios é
ET<= (b-a)^312,n^2,M2 com a=-2,;b=-1
Substituindo:
ET<=1^312,n^2times0,125 =0,12512,n^2 =196,n^2<=10^-3
Daí
n^2>=196times10^-3approx10,4167 Longrightarrow n>=raiz10,4167approx3,23
Arredondando pra cima, precisamos de n=4 subintervalos.

Passo 4

Agora aplica a regra dos trapézios com n=4.
O passo é
h=b-an=14=0,25
Os nós são
x_0=-2,;x_1=-1{,}75,;x_2=-1{,}5,;x_3=-1{,}25,;x_4=-1.
Calculando f em cada nó (aprox.):
f(-2)=0{,}444444,\quad f(-1{,}75)=0{,}405000,
f(-1{,}5)=0{,}360000,\quad f(-1{,}25)=0{,}308641,\quad f(-1)=0{,}250000.
Fórmula do trapézio:
T4 =hl[tfracf(x0)+f(x4)2+sumi=1^3f(xi)r] =0,25l[tfrac0,444444+0,252+(0,405+0,36+0,308641)r] approx0,35522

Resposta

Usando n=4 trapézios, a aproximação é
integral-2^-1x^2(x-1)^2dxapprox0,35522 com erro <=10^-3

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