3)- Determinar o vetor solução do sistema:
\left\{\begin{array}{l} (1+i) x_{1}+i x_{2}+x_{3}=1+4 i \\\\ -x_{1}-2 i x_{2}+(1+2 i) x_{3}=-1-2 i \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=4-i \end{array}\right.
Utilizando o método EXATO de Gauss

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com coeficientes complexos e pede o vetor solução. Escrevendo as equações (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\begin{cases} (1+i)\,x_{1}+i\,x_{2}+x_{3}=1+4i,\\[4pt] -\,x_{1}-2i\,x_{2}+(1+2i)\,x_{3}=-1-2i,\\[4pt] 2\,x_{1}+2\,x_{2}-x_{3}=4-i. \end{cases}
O que é pedido: determinar o vetor solução \,(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\, que satisfaz todas as três equações.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema (colocando os coeficientes e o termo independente). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] -1 & -2i & 1+2i & -1-2i\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 4-i \end{array}\right].
Comentário didático sobre a estratégia: para eliminar variáveis usamos operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo). Para zerar a primeira coluna abaixo do pivô (elemento (1,1)) calculamos multiplicadores m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}} e m_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}, e fazemos R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1, R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Aqui as divisões envolvem números complexos; para dividir complexos vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador (vou mostrar isso explicitamente quando fizer a divisão).]

Passo 3

Calcular os multiplicadores para zerar a coluna 1:
  • m_{21}=\dfrac{-1}{1+i}. Para dividir por 1+i multiplicamos por seu conjugado 1-i:
m_{21}=\frac{-1}{1+i}=\frac{-1(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-1+ i}{2}=\frac{-1+i}{2}.
  • m_{31}=\dfrac{2}{1+i}. Similarmente,
m_{31}=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i.
Agora aplicamos as operações de linha.

Passo 4

Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1. Vou calcular termo a termo (tudo em números complexos):
Primeiro calculei m_{21}R_1:
m_{21}(1+i)=-1,\qquad m_{21}\,i=\frac{-1-i}{2},\qquad m_{21}\cdot1=\frac{-1+i}{2},\qquad m_{21}(1+4i)=\frac{-5-3i}{2}.
Agora R_2 - m_{21}R_1:
\begin{aligned} \text{col}_1 &: -1 - (-1)=0,\\[4pt] \text{col}_2 &: -2i -\frac{-1-i}{2}=\frac{1-3i}{2},\\[4pt] \text{col}_3 &: (1+2i)-\frac{-1+i}{2}=\frac{3+3i}{2},\\[4pt] \text{rhs} &: (-1-2i)-\frac{-5-3i}{2}=\frac{3-i}{2}. \end{aligned}
Para evitar frações multiplico a linha R_2 por 2 (operação válida): obtemos
R_2 \leftarrow 2R_2 = \bigl[\,0,\\\ 1-3i,\\\ 3+3i\\ \bigm|\\\ 3-i\,\bigr].]

Passo 5

Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1 com m_{31}=1-i. Calculei m_{31}R_1:
m_{31}(1+i)=2,\qquad m_{31}\,i=1+i,\qquad m_{31}\cdot1=1-i,\qquad m_{31}(1+4i)=5+3i.
Agora R_3 - m_{31}R_1:
\begin{aligned} \text{col}_1 &: 2-2=0,\\[4pt] \text{col}_2 &: 2-(1+i)=1-i,\\[4pt] \text{col}_3 &: -1-(1-i)=-2+i,\\[4pt] \text{rhs} &: (4-i)-(5+3i)=-1-4i. \end{aligned}
Assim
R_3 = \bigl[\,0,\\\ 1-i,\\\ -2+i\\ \bigm|\\\ -1-4i\,\bigr].
Agora a matriz aumentada (após as operações) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] 0 & 1-3i & 3+3i & 3-i\\[4pt] 0 & 1-i & -2+i & -1-4i \end{array}\right],
onde a segunda linha já foi multiplicada por 2 para eliminar frações.]

Passo 6

Próximo objetivo: eliminar a entrada (3,2) (o elemento 1-i) usando a linha 2 como pivô. Calculamos o multiplicador
m_{32}=\frac{1-i}{1-3i}.
Explico a divisão de complexos: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador 1+3i. Assim
m_{32}=\frac{(1-i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\frac{4+2i}{10}=\frac{2+i}{5}.
Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2. Calculei m_{32}R_2 termo a termo:
m_{32}(1-3i)=1-i\quad(\text{confere, zera a entrada}),\qquad m_{32}(3+3i)=\frac{3+9i}{5},\qquad m_{32}(3-i)=\frac{7+i}{5}.
Agora R_3 - m_{32}R_2:
\begin{aligned} \text{col}_2 &: (1-i)-(1-i)=0,\\[4pt] \text{col}_3 &: (-2+i)-\frac{3+9i}{5}=\frac{-13-4i}{5},\\[4pt] \text{rhs} &: (-1-4i)-\frac{7+i}{5}=\frac{-12-21i}{5}. \end{aligned}
Multiplico a nova linha 3 por 5 para eliminar denominadores:
R_3 \leftarrow 5R_3 = \bigl[\,0,\\\ 0,\\\ -13-4i\\ \bigm|\\\ -12-21i\,\bigr].
Agora temos uma matriz triangular superior (pivôs não nulos nas colunas 1,2,3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1+i & i & 1 & 1+4i\\[4pt] 0 & 1-3i & 3+3i & 3-i\\[4pt] 0 & 0 & -13-4i & -12-21i \end{array}\right].]

Passo 7

Fazer substituição regressiva (back-substitution).
Primeiro, da terceira linha:
(-13-4i)\,x_3 = -12-21i.
Para dividir complexos usamos o conjugado do denominador. O módulo ao quadrado do denominador é
(-13)^2+(-4)^2=169+16=185.
Multiplicando numerador por -13+4i (conjugado do denominador):
(-12-21i)(-13+4i)=240+225i.
Logo
x_3=\frac{240+225i}{185}=\frac{48+45i}{37}.
Segundo, da segunda linha:
(1-3i)\,x_2+(3+3i)\,x_3=3-i.
Isolando x_2,
x_2=\frac{3-i-(3+3i)x_3}{1-3i}.
Substituindo x_3=\dfrac{48+45i}{37} e calculando passo a passo:
(3+3i)x_3=\frac{9+279i}{37}, \quad 3-i=\frac{111-37i}{37},
logo o numerador é \dfrac{102-316i}{37}. Dividindo por 1-3i e multiplicando por seu conjugado 1+3i e simplificando:
x_2=\frac{1050-10i}{370}=\frac{105-i}{37}.
Terceiro, da primeira linha:
(1+i)\,x_1+i\,x_2+x_3=1+4i.
Isolando x_1,
x_1=\frac{1+4i-i x_2-x_3}{1+i}.
Substituindo x_2=\dfrac{105-i}{37} e x_3=\dfrac{48+45i}{37} e calculando (fazendo divisão por 1+i via conjugado 1-i):
o numerador comum fica \dfrac{-12-2i}{37}, e ao dividir por 1+i obtemos
x_1=\frac{-7+5i}{37}.

Passo 8

Resumo dos cálculos finais (valores exatos encontrados, todos com denominador 37):
x_1=\frac{-7+5i}{37},\qquad x_2=\frac{105-i}{37},\qquad x_3=\frac{48+45i}{37}.
Breve verificação (didática): se alguém na prova quiser checar rapidamente, pode substituir esses x_j nas três equações; as contas confirmam que as igualdades são satisfeitas (fiz uma checagem direta durante a resolução).

Resposta

\begin{pmatrix} \dfrac{-7+5i}{37}\\[6pt] \dfrac{105-i}{37}\\[6pt] \dfrac{48+45i}{37} \end{pmatrix}]

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