Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o vetor solução de um sistema 4×4 usando eliminação de Gauss (aquele método de “zerar” variáveis linha a linha até ficar triangular e depois voltar descobrindo cada incógnita). Vamos precisar entender:
  • Como montar a matriz aumentada do sistema.
  • Três operações básicas de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplo de uma linha a outra).
  • O que é matriz triangular e como fazer back-substitution.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 4 & 7.12 1 & 1 & 5 & 3 & 12.02 2 & 5 & 1 & 2 & 14.90 4 & 6 & 2 & 1 & 20.72 ]
A ideia é, usando operações de linha, transformar isso numa matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal). Depois, pela back-substitution a gente resolve as incógnitas de baixo pra cima.

Passo 3

Eliminando [cccc|c 1 & 1 & 2 & 4 & 7.12 0 & 0 & 3 & -1 & 4.90 0 & 3 & -3 & -6 & 0.66 0 & 2 & -6 & -15 & -7.76 ] das linhas 2, 3 e 4:
Resultado:

Passo 4

Agora a segunda linha ficou com zero na coluna 2 — a gente precisa de um pivô não nulo aí. Então trocamos [cccc|c 1 & 1 & 2 & 4 & 7.12 0 & 3 & -3 & -6 & 0.66 0 & 0 & 3 & -1 & 4.90 0 & 2 & -6 & -15 & -7.76 ] e [cccc|c 1 & 1 & 2 & 4 & 7.12 0 & 3 & -3 & -6 & 0.66 0 & 0 & 3 & -1 & 4.90 0 & 0 & -4 & -11 & -8.20 ] :
Depois, eliminamos de :
Fica:

Passo 5

Eliminando [cccc|c 1 & 1 & 2 & 4 & 7.12 0 & 3 & -3 & -6 & 0.66 0 & 0 & 3 & -1 & 4.90 0 & 0 & 0 & -12.3333 & -1.6667 ] de :
Resultado triangular superior:

Passo 6

Agora faz a back-substitution de baixo pra cima:
  1. Linha 4: .
  2. Linha 3: .
  3. Linha 2: .
  4. Linha 1: .

Resposta

x ;approx; 1.0541 2.1686 1.6784 0.1351

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