Verifique que campo vetorial v é campo gradiente e acha o seu potencial phi:
v=(1,1,1)x+y+z

Passo 1

Beleza, queríamos ver se o campo

é um campo gradiente (ou seja, se existe uma função tal que ) e, em caso afirmativo, achar essa .
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, condição de igualdade das derivadas parciais (curl zero) e integração para encontrar a potencial. Vamos precisar de derivadas parciais e de integração simples.

Passo 2

Teoria rápida:
Um campo partialphipartial x=v1, partialphipartial y=v2, partialphipartial z=v3 é gradiente se existir com
Num domínio simplesmente conexo, isso também é garantido se as derivadas cruzadas baterem, ou seja
,
e
.

Passo 3

Vamos checar as derivadas cruzadas para :

  1. Então .
    As outras combinações dão o mesmo cálculo, pois . Logo o “curl” é zero. Isso confirma que é conservativo.

Passo 4

Agora, pra achar phi(x,y,z) =integral v1,dx =integral 1x+y+z,dx =lnl(x+y+zr)+C(y,z) , integramos uma das componentes e ajustamos constantes “parciais”.
Integração em :
Aqui é uma “constante” em relação a .

Passo 5

Determinar partialpartial yl[ln(x+y+z)+C(y,z)r] =1x+y+z+partial Cpartial y stackrel!= 1x+y+z exigindo que
:
Daí , então não depende de : .

Passo 6

Mesma ideia com partialphipartial z =1x+y+z+C'(z) stackrel!= 1x+y+z ;Longrightarrow; C'(z)=0 :
Logo é constante de verdade.

Resposta

A função potencial é
boxedphi(x,y,z)=lnl(x+y+zr)+constante
Logo e está dada por (até uma constante).

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