Verifique que campo vetorial
é campo gradiente e acha o seu potencial
:
Passo 1
Beleza, queríamos ver se o campo
é um campo gradiente (ou seja, se existe uma função tal que
) e, em caso afirmativo, achar essa
.
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, condição de igualdade das derivadas parciais (curl zero) e integração para encontrar a potencial. Vamos precisar de derivadas parciais e de integração simples.
é um campo gradiente (ou seja, se existe uma função
Conteúdo: campos vetoriais conservativos, condição de igualdade das derivadas parciais (curl zero) e integração para encontrar a potencial. Vamos precisar de derivadas parciais e de integração simples.
Passo 2
Teoria rápida:
Um campo é gradiente se existir
com
Um campo
Num domínio simplesmente conexo, isso também é garantido se as derivadas cruzadas baterem, ou seja
,
e
.
Passo 3
Vamos checar as derivadas cruzadas para
:
-
-
Então.
As outras combinações dão o mesmo cálculo, pois. Logo o “curl” é zero. Isso confirma que é conservativo.
Passo 4
Agora, pra achar
, integramos uma das componentes e ajustamos constantes “parciais”.
Integração em :
Integração em
Aqui
é uma “constante” em relação a
.
Passo 5
Determinar
exigindo que
:
Daí
, então
não depende de
:
.
Passo 6
Mesma ideia com
:
Logo
é constante de verdade.
Resposta
A função potencial é
Logo
e
está dada por
(até uma constante).