Mostre que ointgamma y d x+x d y=0, para qualquer curva fechada simples gamma.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que, para qualquer curva fechada simples γ, vale
ointgamma y,dx + x,dy ;=; 0
Isso faz parte de Integrais de Linha em duas variáveis (Cálculo Vetorial). Para resolver, vamos precisar de:
  1. Definição de integral de linha de uma forma .
  2. Teorema de Green (que relaciona integral de linha no contorno com uma integral dupla na região).
  3. Cálculo de derivadas parciais e .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos P(x,y) = y, Q(x,y) = x e ointgamma P,dx + Q,dy ;=; integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA na forma diferencial:
O Teorema de Green diz que, se γ é uma curva fechada simples e R a região interna a γ, então
Ou seja, transformamos uma integral de linha numa dupla sobre a área.

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial (x)partial x =1, partial Ppartial y =partial (y)partial y =1
Logo,
partial Qpartial x - partial Ppartial y =1 - 1 =0

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green:
ointgamma y,dx + x,dy = integral duplaR 0 ,dA = 0
Deu zero porque o integrando é zero em toda a região interna.

Resposta

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