Mostre que
, para qualquer curva fechada simples
.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que, para qualquer curva fechada simples γ, vale
Isso faz parte de Integrais de Linha em duas variáveis (Cálculo Vetorial). Para resolver, vamos precisar de:
- Definição de integral de linha de uma forma
. - Teorema de Green (que relaciona integral de linha no contorno com uma integral dupla na região).
- Cálculo de derivadas parciais
e .
Passo 2
Primeiro, identifiquemos
e
na forma diferencial:
O Teorema de Green diz que, se γ é uma curva fechada simples e R a região interna a γ, então
Ou seja, transformamos uma integral de linha numa dupla sobre a área.
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green:
Deu zero porque o integrando é zero em toda a região interna.