Verifique que campo vetorial
é campo gradiente e acha o seu potencial
:
Passo 1
Beleza! A gente tem um campo vetorial
,
onde e
.
O que a questão pede é mostrar que é gradiente de algum escalar
(ou seja,
) e achar esse potencial
.
Conteúdo: cálculo multivariável – gradiente e integração de derivadas parciais. Vamos precisar relembrar como, a partir de , recuperamos
por integração.
onde
O que a questão pede é mostrar que
Conteúdo: cálculo multivariável – gradiente e integração de derivadas parciais. Vamos precisar relembrar como, a partir de
Passo 2
Primeiro, escrevemos as componentes de
. Como
Em termos de
isso quer dizer
Passo 3
Agora integramos
em relação a
, tratando
como constantes:
Para não complicar, note que
. Então podemos pensar em
, mas já conhecemos o resultado padrão:
Ou seja,
Passo 4
Agora determinamos a “constante” de integração
exigindo que
.
Calculando
Calculando
Para isso bater com
, precisamos de
. Logo
é função só de
.
Passo 5
Mesma ideia para
.
deve ser igual a
. Logo
.
Isso mostra que é constante global.
Isso mostra que
Resposta
Um potencial para
é
Normalmente escolhemos a constante zero e escrevemos
.