Verifique que campo vetorial v é campo gradiente e acha o seu potencial phi:
v=r r, r=|r|

Passo 1

Beleza! A gente tem um campo vetorial
,
onde e .
O que a questão pede é mostrar que é gradiente de algum escalar (ou seja, ) e achar esse potencial .
Conteúdo: cálculo multivariável – gradiente e integração de derivadas parciais. Vamos precisar relembrar como, a partir de , recuperamos por integração.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as componentes de vec v = r,(x,y,z) Longrightarrow vec v = (x,r,;y,r,;z,r) . Como
partial phipartial x = x,r, partial phipartial y = y,r, partial phipartial z = z,r
Em termos de isso quer dizer

Passo 3

Agora integramos phi(x,y,z) = integral x,r;dx = integral x,raizx^2+y^2+z^2;dx em relação a integral x,r;dx = integral x,(x^2+const)^1/2 dx = (x^2+y^2+z^2)^3/23 + C(y,z) , tratando phi(x,y,z) = r^33 + C(y,z) como constantes:
Para não complicar, note que . Então podemos pensar em , mas já conhecemos o resultado padrão:
Ou seja,

Passo 4

Agora determinamos a “constante” de integração partialpartial yl(tfracr^33 + C(y,z)r) = partialpartial y!l(tfrac(x^2+y^2+z^2)^3/23r) + partial Cpartial y = y,r + Cy(y,z) exigindo que
.
Calculando
Para isso bater com , precisamos de . Logo é função só de .

Passo 5

Mesma ideia para partialpartial zl(tfracr^33 + C(z)r) = z,r + C'(z) .
deve ser igual a . Logo .
Isso mostra que é constante global.

Resposta

Um potencial para boxedphi(x,y,z) = r^33 + const, r = raizx^2+y^2+z^2 é
Normalmente escolhemos a constante zero e escrevemos .

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