Usando a fatoração
resolva o sistema linear
, onde
Passo 1
Beleza, temos o sistema
e a tarefa é usar fatoração
(sem pivotamento) pra resolver. Isso envolve três etapas principais:
- achar matrizes
(triangular inferior, com 1’s na diagonal) e (triangular superior) tais que ; - resolver
por substituição pra frente (forward substitution); - resolver
por substituição pra trás (backward substitution).
Passo 2
Vamos decompor
linha2 linha2 - l21,linha1 = l[-5,,7,,16r] - 5cdotl[-1,,2,,3r] = [0,,-3,,1], em
linha3 linha3 - l31,linha1 = l[-15,,14,,6r] - 15cdotl[-1,,2,,3r] = [0,,-16,,-39] e
U = -1 & 2 & 3 0 & * & * 0 & * & * , L = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 15 & 0 & 1 com o método de Doolittle (diagonal de
linha3 [0,,-16,,-39] - 163cdot[0,,-3,,1] = [0,,0,,-39 - tfrac163] = l[0,,0,,-tfrac1333r] = 1). Chamamos as entradas de
U = -1 & 2 & 3 0 & -3 & 1 0 & 0 & -tfrac1333 , L = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 15 & tfrac163 & 1 de
e de
de
.
-
Primeiro pivô:
.- Calculamos
. - Calculamos
.
Agora eliminamos na linha 2 e 3:Até agora temos - Calculamos
-
Segundo pivô: agora
.- Calculamos
- Eliminamos na linha 3:
Assim - Calculamos
Passo 3
Agora que
L,y = b , resolvemos primeiro
Como
é triangular inferior, fazemos “forward substitution”:
- Linha 1:
- Linha 2:
- Linha 3:
Ou seja,
Passo 4
Por fim resolvemos
por “backward substitution” (triangular superior):
3ª linha:
2ª linha:
1ª linha: