Usando a fatoração L U resolva o sistema linear A x=b, onde
A=(ccc -1 & 2 & 3 -5 & 7 & 16 -15 & 14 & 6 ) e b=(-1,3,-5)

Passo 1

Beleza, temos o sistema
A x = b, A = -1 & 2 & 3 -5 & 7 & 16 -15 & 14 & 6 , b = -13-5,
e a tarefa é usar fatoração (sem pivotamento) pra resolver. Isso envolve três etapas principais:
  1. achar matrizes (triangular inferior, com 1’s na diagonal) e (triangular superior) tais que ;
  2. resolver por substituição pra frente (forward substitution);
  3. resolver por substituição pra trás (backward substitution).

Passo 2

Vamos decompor linha2 linha2 - l21,linha1 = l[-5,,7,,16r] - 5cdotl[-1,,2,,3r] = [0,,-3,,1], em linha3 linha3 - l31,linha1 = l[-15,,14,,6r] - 15cdotl[-1,,2,,3r] = [0,,-16,,-39] e U = -1 & 2 & 3 0 & * & * 0 & * & * , L = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 15 & 0 & 1 com o método de Doolittle (diagonal de linha3 [0,,-16,,-39] - 163cdot[0,,-3,,1] = [0,,0,,-39 - tfrac163] = l[0,,0,,-tfrac1333r] = 1). Chamamos as entradas de U = -1 & 2 & 3 0 & -3 & 1 0 & 0 & -tfrac1333 , L = 1 & 0 & 0 5 & 1 & 0 15 & tfrac163 & 1 de e de de .
  1. Primeiro pivô: .
    • Calculamos .
    • Calculamos .
    Agora eliminamos na linha 2 e 3:
    Até agora temos
  2. Segundo pivô: agora .
    • Calculamos
    • Eliminamos na linha 3:
    Assim

Passo 3

Agora que L,y = b , resolvemos primeiro
y = -18-tfrac983
Como é triangular inferior, fazemos “forward substitution”:
  1. Linha 1:
  2. Linha 2:
  3. Linha 3:
Ou seja,

Passo 4

Por fim resolvemos
U,x = y
por “backward substitution” (triangular superior):
3ª linha:
2ª linha:
1ª linha:

Resposta

x = -tfrac3119[6pt] -tfrac4619[6pt] -tfrac1419

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