A equação 4 x^2-e^x-e^-x=0 tem quatro soluções pm x1 e pm x2. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=10

Passo 1

Beleza, a questão fala da equação
4x^2 - e^x - e^-x = 0
e quer usar o método de Newton (que é um método numérico de Aproximação de Raízes) pra achar a solução positiva, começando em e parar quando a diferença entre iterações for menor que . Vamos precisar:
- Definir a função e sua derivada .
- Saber a fórmula de iteração de Newton.
- Calcular as iterações até a tolerância pedida.

Passo 2

Definimos
f(x) = 4x^2 - e^x - e^-x, f'(x) = ddxl(4x^2 - e^x - e^-xr) = 8x - e^x + e^-x
A regra do método de Newton é
pn+1 = pn ;-;f(pn)f'(pn)
Ou seja, em cada passo a gente avalia e em e corrige para .

Passo 3

Começando em p1 = 10 ;-;4cdot10^2 - e^10 - e^-108cdot10 - e^10 + e^-10 approx 9.014741 :
  1. Calcular p2 = 9.014741 ;-;f(9.014741)f'(9.014741) approx 8.046273 :
p3 approx 7.110089
  1. Calcular p4 approx 6.234891 :
p5 approx 5.463981
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 4

Continuando o processo:
p6 &approx 4.858973, p7 &approx 4.476679, p8 &approx 4.329648, p9 &approx 4.306480
Note que ainda não chegamos na tolerância, pois

Passo 5

Mais uma iteração:
p10 = p9 - f(p9)f'(p9) approx 4.306488
Agora
lvert p10 - p9rvert approx 0.000008 < 10^-5,
então paramos aqui.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
boxedx approx 4.30649
com erro menor que .

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