1. Utilize o Maple para determinar quantas iterações do método de Newton com p0=pi / 4 são necessárias para encontrar uma raiz de f(x)=cos x-x com precisão de 10^-100.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra usar o método de Newton (que é um método numérico) pra achar a raiz da função
f(x)=cos x - x
começando em pn+1 ;=; pn - f(pn)f'(pn) e continuar até que a aproximação tenha erro menor que .
Conteúdo: método de Newton, derivadas e convergência quadrática.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do método de Newton:
  2. As derivadas e para analisar a convergência.
  3. Uma estimativa do comportamento do erro (convergência quadrática) pra saber quantas iterações até .

Passo 2

Primeiro, derivadas de f(x)=cos x - x Longrightarrow f'(x)=-sin x - 1, f''(x)=-cos x :
pn+1=pn - cos(pn)-pn-sin(pn)-1
O método de Newton gera a sequência
en+1 approx C , en^2,
Quando C = f''(r)2,f'(r) cresce, a gente espera que o erro (onde é a raiz exata) caia “mais ou menos” como
com

Passo 3

A raiz exata r approx 0,7390851332151607ldots satisfaz f'(r) = -sin r -1 approx -0,673612029 - 1 = -1,673612029, f''(r) = -cos r approx -0,739085133 e numericamente vale aproximadamente
C = -0,7390851332cdot(-1,673612029) approx 0,2208
Calculamos aí:
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Passo 4

Agora a gente estima cada erro começando de
e0 = |p0 - r| = l|tfracpi4 - rr| approx 0,046313
Usando e1 &approx 0,2208,(0,046313)^2 approx 4,7times10^-4, e2 &approx 0,2208,(4,7times10^-4)^2 approx 5times10^-8, e3 &approx 0,2208,(5times10^-8)^2 approx 5times10^-16, e4 &approx 0,2208,(5times10^-16)^2 approx 6times10^-32, e5 &approx 0,2208,(6times10^-32)^2 approx 9times10^-64, e6 &approx 0,2208,(9times10^-64)^2 approx 2times10^-127 :
Aí você vê que só lá na iteração 6 o erro fica menor que .

Resposta

São necessárias 6 iterações do método de Newton para atingir precisão de .

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