Exercício 2 - Polinômio Interpolador de Newton Grau 3

Considere os dados abaixo referentes ao tempo e à velocidade:
Tempo t (s) Velocidade v(t)(\mathrm{cm} / \mathrm{s})
1 800
3 2310
5 3090
7 3940
20 8000
Utilizando os quatro primeiros pontos, determine o polinômio interpolador de Newton de grau 3 e estime a velocidade para t=13 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes pontos do enunciado):
    • t_0=1,\; v_0=800.
    • t_1=3,\; v_1=2310.
    • t_2=5,\; v_2=3090.
    • t_3=7,\; v_3=3940.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que passa por esses quatro pontos.
    2. Estimar a velocidade para t=13\\ \text{s} usando esse polinômio.

Passo 2

O que é o polinômio de Newton e como vamos construir (aula rápida e prática).
  • A forma de Newton de grau 3 com nós t_0,t_1,t_2,t_3 é
P_3(t)=a_0 + a_1(t-t_0) + a_2(t-t_0)(t-t_1) + a_3(t-t_0)(t-t_1)(t-t_2),
onde os coeficientes a_k são as diferenças divididas:
a_0 = f[t_0],\quad a_1 = f[t_0,t_1],\quad a_2 = f[t_0,t_1,t_2],\quad a_3 = f[t_0,t_1,t_2,t_3].
  • Diferença dividida de ordem 1:
f[t_i,t_{i+1}] = \frac{f(t_{i+1})-f(t_i)}{t_{i+1}-t_i}.
  • Diferença dividida de ordem k (recursiva):
f[t_i,\dots,t_{i+k}] = \frac{f[t_{i+1},\dots,t_{i+k}] - f[t_i,\dots,t_{i+k-1}]}{t_{i+k}-t_i}.
Explicação curta: as diferenças divididas generalizam inclinações entre pontos e produzem coeficientes diretamente utilizáveis na forma de Newton.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (mostrando as contas passo a passo).
  • Entre t_0=1 e t_1=3:
f[t_0,t_1] = \frac{v_1-v_0}{t_1-t_0} = \frac{2310-800}{3-1} = \frac{1510}{2} = 755.
  • Entre t_1=3 e t_2=5:
f[t_1,t_2] = \frac{3090-2310}{5-3} = \frac{780}{2} = 390.
  • Entre t_2=5 e t_3=7:
f[t_2,t_3] = \frac{3940-3090}{7-5} = \frac{850}{2} = 425.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem.
  • Para t_0,t_1,t_2:
f[t_0,t_1,t_2] = \frac{f[t_1,t_2]-f[t_0,t_1]}{t_2-t_0} = \frac{390-755}{5-1} = \frac{-365}{4} = -\frac{365}{4}.
  • Para t_1,t_2,t_3:
f[t_1,t_2,t_3] = \frac{f[t_2,t_3]-f[t_1,t_2]}{t_3-t_1} = \frac{425-390}{7-3} = \frac{35}{4} = \frac{35}{4}.

Passo 5

Calcular a diferença dividida de terceira ordem (última necessária para grau 3).
f[t_0,t_1,t_2,t_3] = \frac{f[t_1,t_2,t_3]-f[t_0,t_1,t_2]}{t_3-t_0} = \frac{\tfrac{35}{4} - \left(-\tfrac{365}{4}\right)}{7-1} = \frac{\tfrac{400}{4}}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}.

Passo 6

Agora escrevemos o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados.
  • Usando a_0=f[t_0]=800, a_1=755, a_2=-\dfrac{365}{4}, a_3=\dfrac{50}{3}, temos
P_3(t)=800 + 755(t-1) - \frac{365}{4}(t-1)(t-3) + \frac{50}{3}(t-1)(t-3)(t-5).
Esta expressão é o polinômio interpolador de Newton de grau 3 pedido. Ela já é muito prática para avaliar valores porque usa produtos do tipo (t-t_i).

Passo 7

Avaliar o polinômio em t=13 (passo a passo numérico, sem pular contas).
  • Calcular os fatores:
    • 13-1 = 12.
    • 13-3 = 10.
    • 13-5 = 8.
  • Avaliar cada termo:
    • Termo constante: 800.
    • Termo linear: 755\cdot 12 = 9060.
    • Termo quadrático: -\dfrac{365}{4}\cdot 12\cdot 10 = -\dfrac{365}{4}\cdot 120 = -365\cdot 30 = -10950. (Observe que 120/4=30.)
    • Termo cúbico: \dfrac{50}{3}\cdot 12\cdot 10\cdot 8 = \dfrac{50}{3}\cdot 960 = 50\cdot 320 = 16000. (Observe que 960/3=320.)
  • Somar tudo:
P_3(13)=800 + 9060 -10950 +16000 = 14910.
Portanto a estimativa da velocidade para t=13\\ \text{s} pelo interpolador de grau 3 é \,14910\\ \text{cm/s}.

Passo 8

(Se quiser o polinômio expandido em potências de t, aqui está a expansão passo a passo.)
  • Primeiro calcule (t-1)(t-3)=t^2-4t+3.
  • Multiplicando por -\dfrac{365}{4} obtém-se
-\frac{365}{4}t^2 + 365t - \frac{1095}{4}.
  • Calcule (t-1)(t-3)(t-5)=t^3-9t^2+23t-15.
  • Multiplicando por \dfrac{50}{3} obtém-se
\frac{50}{3}t^3 -150t^2 + \frac{1150}{3}t -250.
  • Somando todos os termos (incluindo 800 e 755(t-1)=755t-755) resulta o polinômio expandido
P_3(t)=\frac{50}{3}t^3 - \frac{965}{4}t^2 + \frac{4510}{3}t - \frac{1915}{4}.
(As frações vêm das contas exatas; é a mesma função que a forma em Newton.)

Resposta

P_3(t)=800 + 755(t-1) - \dfrac{365}{4}(t-1)(t-3) + \dfrac{50}{3}(t-1)(t-3)(t-5)
P_3(13)=14910\\ \text{cm/s}

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