Exercício 2 - Polinômio Interpolador de Newton Grau 3
Considere os dados abaixo referentes ao tempo e à velocidade:
Tempo
(s)
Velocidade
1
800
3
2310
5
3090
7
3940
20
8000
Utilizando os quatro primeiros pontos, determine o polinômio interpolador de Newton de grau 3 e estime a velocidade para
.
| Tempo
|
Velocidade
|
|
| 1 | 800 | |
| 3 | 2310 | |
| 5 | 3090 | |
| 7 | 3940 | |
| 20 | 8000 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes pontos do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
-
- O enunciado pede:
- Determinar o polinômio interpolador de Newton de grau
que passa por esses quatro pontos. - Estimar a velocidade para
usando esse polinômio.
- Determinar o polinômio interpolador de Newton de grau
Passo 2
O que é o polinômio de Newton e como vamos construir (aula rápida e prática).
- A forma de Newton de grau
com nós é
onde os coeficientes
são as diferenças divididas:
- Diferença dividida de ordem 1:
- Diferença dividida de ordem
(recursiva):
Explicação curta: as diferenças divididas generalizam inclinações entre pontos e produzem coeficientes diretamente utilizáveis na forma de Newton.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (mostrando as contas passo a passo).
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 4
Calcular as diferenças divididas de segunda ordem.
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Calcular a diferença dividida de terceira ordem (última necessária para grau 3).
Passo 6
Agora escrevemos o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados.
- Usando
, , , , temos
Esta expressão é o polinômio interpolador de Newton de grau
pedido. Ela já é muito prática para avaliar valores porque usa produtos do tipo
.
Passo 7
Avaliar o polinômio em
(passo a passo numérico, sem pular contas).
- Calcular os fatores:
-
. -
. -
.
-
- Avaliar cada termo:
- Termo constante:
. - Termo linear:
. - Termo quadrático:
. (Observe que .) - Termo cúbico:
. (Observe que .)
- Termo constante:
- Somar tudo:
Portanto a estimativa da velocidade para
pelo interpolador de grau 3 é
.
Passo 8
(Se quiser o polinômio expandido em potências de
, aqui está a expansão passo a passo.)
- Primeiro calcule
. - Multiplicando por
obtém-se
- Calcule
. - Multiplicando por
obtém-se
- Somando todos os termos (incluindo
e ) resulta o polinômio expandido
(As frações vêm das contas exatas; é a mesma função que a forma em Newton.)