Encontre a raiz negativa de 0.3 pelos métodos de Newton-Raphson, partindo de x_{o}= -0.5 e secante considerando x_{1}=-0.4. Considere \varepsilon=0.5 \times 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz negativa da equação
f(x)=x^{2}-0.3=0
ou seja, x=-\sqrt{0.3}, usando os métodos de Newton–Raphson e da secante. Vamos usar como critério de parada
\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<\varepsilon\quad\text{com}\;\varepsilon=0{,}5\times10^{-2}=0{,}005.
Para o método de Newton tomamos x_{0}=-0.5. Para o método da secante tomamos x_{0}=-0.5 e x_{1}=-0.4.

Passo 2

Método de Newton–Raphson:
Temos f(x)=x^{2}-0.3 e f'(x)=2x. A iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} =\frac{x_{n}+\frac{0.3}{x_{n}}}{2}.

Passo 3

Calcular as primeiras iterações de Newton:
- Para n=0:
x_{1}=\frac{-0.5+\frac{0.3}{-0.5}}{2} =\frac{-0.5-0.6}{2}=-0.55,
e
\lvert x_{1}-x_{0}\rvert=0.05>0.005,
ainda não convergiu.
- Para n=1:
x_{2}=\frac{-0.55+\frac{0.3}{-0.55}}{2} \approx-0.5477273,
e
\lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx0.002273<0.005,
logo paramos aqui.

Passo 4

Resultado pelo método de Newton–Raphson:
x\approx -0.54773.

Passo 5

Método da secante:
A fórmula é
x_{n+1} =x_{n} -\;f(x_{n})\;\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})},
com f(x)=x^{2}-0.3.

Passo 6

Calcular as iterações da secante:
- Para n=1 (usando x_{0}=-0.5, x_{1}=-0.4):
f(x_{0})=-0.05,\quad f(x_{1})=-0.14,
x_{2}=-0.4 -\bigl(-0.14\bigr)\frac{-0.4+0.5}{-0.14+0.05} \approx-0.555556, \quad \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx0.1556>0.005.
- Para n=2:
f(x_{2})\approx0.008642, \quad x_{3} =-0.555556 -\;0.008642\frac{-0.555556+0.4}{0.008642+0.14} \approx-0.546509, \quad \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx0.00905>0.005.
- Para n=3:
f(x_{3})\approx-0.001321, \quad x_{4} =-0.546509 -\bigl(-0.001321\bigr)\frac{-0.546509+0.555556}{-0.001321-0.008642} \approx-0.547708,
\lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx0.00120<0.005,
logo paramos aqui.

Resposta

Newton–Raphson: -0.54773
Secante: -0.54771

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