Dadas as funções f(x)=0.1 x-\log (x), F(x)=\cos (2 x)-2 x e h(x)= x \operatorname{tg}(x)-1, determine para cada caso um intervalo que contenha somente a menor raiz de f(x), a maior de F(x) e a menor positiva de h(x).

Passo 1

O enunciado pede para isolar em intervalos que contenham apenas:
– a menor raiz de f(x)=0.1\,x-\ln(x),
– a maior raiz de F(x)=\cos(2x)-2x,
– e a menor raiz positiva de h(x)=x\tan(x)-1.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (busca de mudança de sinal) e informações de crescimento/decrescimento para garantir que não haja outra raiz no intervalo escolhido.

Passo 2

Analisando f(x)=0.1\,x-\ln(x):
  1. f'(x)=0.1-\tfrac1x zera em x=10, logo f decresce em (0,10) e cresce em (10,\infty). Há duas raízes positivas, a menor em (1,2).
  2. Calculamos
f(1)=0.1-\ln(1)=0.1>0,\quad f(2)=0.2-\ln(2)\approx0.2-0.693=-0.493<0.
Como f é contínua e estritamente decrescente em [1,2], há exatamente uma raiz em (1,2).

Passo 3

Analisando F(x)=\cos(2x)-2x:
  1. Note que soluções satisfazem \cos(2x)=2x. Como \cos(2x)\in[-1,1], só há raízes em \lvert x\rvert\le0.5.
  2. Avaliamos em torno da única raiz positiva:
F(0.35)=\cos(0.7)-0.7\approx0.764-0.7=0.064>0, \quad F(0.45)=\cos(0.9)-0.9\approx0.621-0.9=-0.279<0.
Há mudança de sinal em (0.35,0.45) e nenhuma outra raiz nesse intervalo, portanto a maior (e única) raiz está em (0.35,0.45).

Passo 4

Analisando h(x)=x\tan(x)-1:
  1. Em (0,\tfrac\pi2), \tan(x) cresce de 0 a +\infty, de modo que h(0)=-1<0 e \lim_{x\to\pi/2^-}h(x)=+\infty. Há exatamente uma raiz positiva nesse intervalo.
  2. Buscamos aproximação via mudança de sinal:
h(0.8)=0.8\tan(0.8)-1\approx0.8\cdot1.029-1=-0.177<0, \quad h(0.9)=0.9\tan(0.9)-1\approx0.9\cdot1.260-1=0.134>0.
Logo a menor raiz positiva de h está em (0.8,0.9).

Resposta

Menor raiz de f: (1,2)
Maior raiz de F: (0.35,0.45)
Menor raiz positiva de h: (0.8,0.9)

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