Dadas as funções
e
, determine para cada caso um intervalo que contenha somente a menor raiz de
, a maior de
e a menor positiva de
.
Passo 1
O enunciado pede para isolar em intervalos que contenham apenas:
– a menor raiz de ,
– a maior raiz de ,
– e a menor raiz positiva de .
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (busca de mudança de sinal) e informações de crescimento/decrescimento para garantir que não haja outra raiz no intervalo escolhido.
– a menor raiz de
– a maior raiz de
– e a menor raiz positiva de
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (busca de mudança de sinal) e informações de crescimento/decrescimento para garantir que não haja outra raiz no intervalo escolhido.
Passo 2
Analisando
:
-
zera em , logo decresce em e cresce em . Há duas raízes positivas, a menor em . - Calculamos
Como
é contínua e estritamente decrescente em
, há exatamente uma raiz em
.
Passo 3
Analisando
:
- Note que soluções satisfazem
. Como , só há raízes em . - Avaliamos em torno da única raiz positiva:
Há mudança de sinal em
e nenhuma outra raiz nesse intervalo, portanto a maior (e única) raiz está em
.
Passo 4
Analisando
:
- Em
, cresce de a , de modo que e . Há exatamente uma raiz positiva nesse intervalo. - Buscamos aproximação via mudança de sinal:
Logo a menor raiz positiva de
está em
.
Resposta
Menor raiz de
:
Maior raiz de :
Menor raiz positiva de :
Maior raiz de
Menor raiz positiva de