Determine uma aproximação para a solução de f(x)=0 nos seguintes casos:
cos (x)-x+1=0 no intervalo [1,1.5] com precisão de |f(pn)|<10^-2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar uma solução aproximada de
f(x)=cos(x)-x+1=0
no intervalo , com precisão tal que
.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (bisseção)–vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário (sinal de troca de positivo pra negativo) e do algoritmo da bisseção (dividir o intervalo ao meio até atingir a precisão).

Passo 2

Primeiro, avaliamos os extremos pra garantir que existe raiz e sinal trocado:
f(1)=cos(1)-1+1=cos(1)approx0,5403>0,
f(1.5)=cos(1.5)-1.5+1approx0,0707-0,5=-0,4293<0
Como , pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Método da bisseção: a cada passo, calculamos o ponto médio
pk=tfraca+b2
e vemos o sinal de p1=tfrac1+1.52=1.25, f(p1)=cos(1.25)-1.25+1approx0,3153-1.25+1=0,0653>0 . Se for positivo, a raiz fica em ; se for negativo, em .
Iteração 1:
Sinal positivo → nova faixa .

Passo 4

Iteração 2:
p2=tfrac1.25+1.52=1.375, f(p2)=cos(1.375)-1.375+1approx0,1930-1.375+1=-0,1820<0
Sinal negativo → próxima faixa .

Passo 5

Iteração 3:
p3=tfrac1.25+1.3752=1.3125, f(p3)=cos(1.3125)-1.3125+1approx0,2540-1.3125+1=-0,0585<0
Negativo → faixa .

Passo 6

Iteração 4:
p4=tfrac1.25+1.31252=1.28125, f(p4)=cos(1.28125)-1.28125+1approx0,2859-1.28125+1=0,00465
Agora , então atingimos a precisão pedida.

Resposta

Uma aproximação da raiz é
xapprox1,28125

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