Determine aproximações, com precisão de 10^-4, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
f(x)=x^3+3 x^2-1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar todos os zeros reais do polinômio
f(x)=x^3+3x^2-1
usando o método de Newton, com precisão de xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn), .
Conteúdo da matéria: métodos numéricos (método de Newton) e cálculo de derivadas.
O que vamos precisar:
  1. a função e sua derivada ,
  2. a fórmula do método de Newton
  1. um chute inicial razoável para cada raiz,
  2. critério de parada .

Passo 2

Calcular f(x)=x^3+3x^2-1, f'(x)=3x^2+6x e apresentar a fórmula de Newton:
xn+1=xn - f(xn)f'(xn),
Método de Newton:
a gente repete até .

Passo 3

Primeiro a gente localiza onde estão as raízes examinando sinais de x0^(1)=-2.5, x0^(2)=-0.5, x0^(3)=0.5 :
  • Entre e muda de sinal ( , ).
  • Entre e muda de sinal ( , ).
  • Entre e muda de sinal ( , ).
    Então escolhemos chutes iniciais:

Passo 4

Iterações:
  1. x^(1)approx -2.8787 .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
    Como , a primeira raiz é

Passo 5

  1. x^(2)approx -0.6525 .
  2. .
  3. .
    Parou quando . Então

Passo 6

  1. x^(3)approx 0.5321 .
  2. .
  3. .
    Como , temos

Resposta

As aproximações dos zeros reais de boxedxapprox -2.8787, xapprox -0.6525, xapprox 0.5321 com precisão são:

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