1. Uma seqüência p é considerada superlinearmente convergente para lim n infty |pn+1-p||pn-p|=0 se
pn p
a. Mostre que se alpha com ordem p, para pn=1 / n^n é superlinearmente convergente para alpha>1.
b. Mostre que p é superlinearmente convergente para 0 , mas não converge para 0 com . para qualquer lim n infty |pn+1-pn||pn-p|=1 .
15. Suponha que seja superlinearmente convergente para . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos.
Conteúdo: convergência de sequências numéricas, ordem de convergência e convergência superlinear.
O que temos:
  • Definição de superlinear:
limntoinfty|pn+1-p||pn-p|=0
  • Definição de ordem |pn+1-p|<= M,|pn-p|^alpha : existe constante limntoinfty|pn+1-pn||pn-p|=1 e tal que, para ,
O que nos pedem:
(a) Mostrar que ordem implica superlinear.
(b) Verificar que é superlinear para , mas não tem ordem .
(15) Se é superlinear, provar

Passo 2

Prova do item (a): “ordem en+1<= M,en^alpha(alpha>1) en+1en<= M,en^alpha-1 superlinear”.
Defina 0<=limntoinftyen+1en<= Mcdot0=0 Longrightarrow limntoinftyen+1en=0, . Pela definição de ordem :
Então
Como e , temos . Logo
que é exatamente a definição de convergência superlinear.

Passo 3

Prova do item (b): |pn+1-0||pn-0| =1/(n+1)^,n+11/n^n =n^n(n+1)^,n+1 =1n+1l(nn+1r)^n , |pn+1||pn|sime^-1n+1;xrightarrow[ntoinfty];0 .
  1. Superlinearidade:
pn+1pn^alpha =1/(n+1)^n+1(1/n^n)^alpha =n^alpha n(n+1)^n+1 =1n+1l(n^alphan+1r)^n
Mas pn+1pn^alpha;longrightarrow;infty, . Então
Logo é superlinear.
  1. Falta de ordem : testar
Observe
,
então
.
Como , cresce super-exponencialmente, dominando tudo. Logo
não há constante finita , então não temos ordem .

Passo 4

Prova do item 15: se |pn+1-pn||pn-p|<= |pn+1-p||pn-p|+1 ;xrightarrow[ntoinfty];0+1=1 , mostrar
|pn+1-pn||pn-p|>= 1-|pn+1-p||pn-p| ;xrightarrow[ntoinfty];1-0=1 .
Use a desigualdade triangular duas vezes:
  1. . Divida por :
  1. Também
    . Logo
Pelo princípio do sanduíche, o limite existe e vale 1.

Resposta

(a) Demonstrei que ordem força .
(b) Mostrei que satisfaz esse limite zero (logo superlinear), mas falha em qualquer teste de ordem porque o quociente relevante vai a .
(15) Apliquei desigualdade triangular e a convergência superlinear para obter .

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