Uma seqüência é considerada superlinearmente convergente para se
a. Mostre que se com ordem , para é superlinearmente convergente para .
b. Mostre que é superlinearmente convergente para 0 , mas não converge para 0 com . para qualquer .
15. Suponha que seja superlinearmente convergente para . Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos.
Conteúdo: convergência de sequências numéricas, ordem de convergência e convergência superlinear.
O que temos:
Definição de superlinear:
Definição de ordem : existe constante e tal que, para ,
O que nos pedem:
(a) Mostrar que ordem implica superlinear.
(b) Verificar que é superlinear para , mas não tem ordem .
(15) Se é superlinear, provar
Passo 2
Prova do item (a): “ordem superlinear”.
Defina . Pela definição de ordem :
Então
Como e , temos . Logo
que é exatamente a definição de convergência superlinear.
Passo 3
Prova do item (b): , .
Superlinearidade:
Mas . Então
Logo é superlinear.
Falta de ordem : testar
Observe ,
então .
Como , cresce super-exponencialmente, dominando tudo. Logo
não há constante finita , então não temos ordem .
Passo 4
Prova do item 15: se |pn+1-pn||pn-p|<= |pn+1-p||pn-p|+1 ;xrightarrow[ntoinfty];0+1=1 , mostrar |pn+1-pn||pn-p|>= 1-|pn+1-p||pn-p| ;xrightarrow[ntoinfty];1-0=1 .
Use a desigualdade triangular duas vezes:
. Divida por :
Também . Logo
Pelo princípio do sanduíche, o limite existe e vale 1.
Resposta
(a) Demonstrei que ordem força .
(b) Mostrei que satisfaz esse limite zero (logo superlinear), mas falha em qualquer teste de ordem porque o quociente relevante vai a .
(15) Apliquei desigualdade triangular e a convergência superlinear para obter .