Determine aproximações, com precisão de
, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
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Passo 1
A questão pede para a gente achar aproximações, com precisão de
, de todos os zeros reais do polinômio
usando o método de Newton.
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
- A derivada
. - A fórmula de iteração de Newton:
- Um chute inicial
e um critério de parada .
Passo 2
Primeiro, saber quantos zeros reais temos. Como é um polinômio de grau 3:
- Calculo rápido do discriminante dá
, indicando apenas 1 raiz real.f(1)=1^3-1-1=-1<0, f(2)=2^3-2-1=5>0, - Para achar um intervalo onde ela esteja, noto que
logo existe uma raiz emx0 = 1.5 . Vamos escolher de chute inicial
Passo 3
Agora a teoria do método de Newton:
- Derivada
f'(x)=3x^2-1 - Fórmula de iteração
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Passo 4
Bora iterar até
f(1.5)&=1.5^3-1.5-1=0.875, f'(1.5)&=3cdot1.5^2-1=5.75, x1&=1.5-0.8755.75approx1.3478261 :
Iteração 1 (a partir de
f(1.3478261)&approx0.1018739, f'(1.3478261)&approx4.4526734, x2&approx1.3478261-0.10187394.4526734approx1.3249495 ):
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Aqui
, então paramos.
Resposta
O único zero real de
boxedxapprox1.3245, é
com erro menor que
.