Determine aproximações, com precisão de 10^-4, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
f(x)=x^3-x-1

Passo 1

A questão pede para a gente achar aproximações, com precisão de f(x)=x^3 - x - 1 , de todos os zeros reais do polinômio
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
usando o método de Newton.
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
  1. A derivada .
  2. A fórmula de iteração de Newton:
  3. Um chute inicial e um critério de parada .

Passo 2

Primeiro, saber quantos zeros reais temos. Como é um polinômio de grau 3:
  • Calculo rápido do discriminante dá f(1)=1^3-1-1=-1<0, f(2)=2^3-2-1=5>0, , indicando apenas 1 raiz real.
  • Para achar um intervalo onde ela esteja, noto que x0 = 1.5 logo existe uma raiz em . Vamos escolher de chute inicial

Passo 3

Agora a teoria do método de Newton:
  1. Derivada f'(x)=3x^2-1
  2. Fórmula de iteração xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 4

Bora iterar até f(1.5)&=1.5^3-1.5-1=0.875, f'(1.5)&=3cdot1.5^2-1=5.75, x1&=1.5-0.8755.75approx1.3478261 :
Iteração 1 (a partir de f(1.3478261)&approx0.1018739, f'(1.3478261)&approx4.4526734, x2&approx1.3478261-0.10187394.4526734approx1.3249495 ):
f(1.3249495)&approx0.0010225, f'(1.3249495)&approx4.2664580, x3&approx1.3249495-0.00102254.2664580approx1.3247099
Iteração 2:
f(1.3247099)&approx0.0004501, f'(1.3247099)&approx4.2648789, x4&approx1.3247099-0.00045014.2648789approx1.3246043
Iteração 3:
f(1.3246043)&approx0.0003017, f'(1.3246043)&approx4.2636586, x5&approx1.3246043-0.00030174.2636586approx1.3245335
Iteração 4:
Iteração 5:
Aqui , então paramos.

Resposta

O único zero real de boxedxapprox1.3245, é
com erro menor que .

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