- Utilize o método de Steffensen para determinar com a precisão de
a raiz de
no intervalo
e compare o resultado com os resultados do Exercício 8 da Seção 2.2.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Usar o método de Steffensen pra achar, com precisão de
, a raiz da equação
no intervalo
, e comparar o resultado com o que rolou no Exercício 8 da Seção 2.2.”
Conteúdo: é numérico, fixo de ponto e aceleração de Aitken/Steffensen. Vamos precisar de:
Conteúdo: é numérico, fixo de ponto e aceleração de Aitken/Steffensen. Vamos precisar de:
- escrever a equação como ponto fixo
; - entender a fórmula do método de Steffensen;
- iterar até
.
Passo 2
Primeiro transforma em ponto fixo. A nossa equação é
Então definimos
A ideia: se
for bem comportada em
, a raiz de
é o ponto fixo de
.
Passo 3
O método de Steffensen acelera a convergência de iteração de ponto fixo assim:
Dado , calculamos
Dado
e então
Isso é como aplicar Aitken/
na sequência de iterações simples. O denominador aproxima a “curvatura” de
.
Passo 4
Agora iteramos com palpite inicial
:
-
n=0:
-
n=1:
-
n=2:
-
n=3:
dá
Aí
, paramos.
Resposta
A raiz aproximada pelo método de Steffensen é
com apenas 4 iterações. No Exercício 8 da Seção 2.2 (usando, por exemplo, bisseção ou Newton) tinha-se algo como
, mas o Steffensen alcançou precisão
em muito menos passos.