1. Utilize o método de Steffensen para determinar com a precisão de 10^-4 a raiz de x-2^-x=0 no intervalo [0,1] e compare o resultado com os resultados do Exercício 8 da Seção 2.2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Usar o método de Steffensen pra achar, com precisão de x - 2^-x = 0 , a raiz da equação
no intervalo , e comparar o resultado com o que rolou no Exercício 8 da Seção 2.2.”
Conteúdo: é numérico, fixo de ponto e aceleração de Aitken/Steffensen. Vamos precisar de:
  1. escrever a equação como ponto fixo ;
  2. entender a fórmula do método de Steffensen;
  3. iterar até .

Passo 2

Primeiro transforma em ponto fixo. A nossa equação é
x - 2^-x = 0 Longrightarrow x = 2^-x
Então definimos
varphi(x) = 2^-x
A ideia: se for bem comportada em , a raiz de é o ponto fixo de .

Passo 3

O método de Steffensen acelera a convergência de iteração de ponto fixo assim:
Dado yn = varphi(xn), zn = varphi(yn), , calculamos
xn+1 ;=; xn ;-;(yn - xn)^2,zn - 2,yn + xn,
e então
Isso é como aplicar Aitken/ na sequência de iterações simples. O denominador aproxima a “curvatura” de .

Passo 4

Agora iteramos com palpite inicial :
  1. n=0:



  2. n=1:



  3. n=2:

  4. n=3:

, paramos.

Resposta

A raiz aproximada pelo método de Steffensen é
x approx 0.64109
com apenas 4 iterações. No Exercício 8 da Seção 2.2 (usando, por exemplo, bisseção ou Newton) tinha-se algo como , mas o Steffensen alcançou precisão em muito menos passos.

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