Determine aproximações, com precisão de
, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
1.
Passo 1
Beleza, temos que achar, com precisão de
, todos os zeros reais do polinômio
usando o método de Newton. Isso é parte de Análise Numérica: a gente vai precisar de
- saber o que é derivada,
- calcular
, - usar a fórmula de Newton–Raphson
e iterar até a diferença entre iterações ficar abaixo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada:
O método de Newton usa a reta tangente em
para achar
. Cada passo é
A gente escolhe um chute inicial
perto do zero e repete até
.
Passo 3
Antes de iterar, identifiquemos onde estão os zeros reais:
- Em
, ; em , . Há mudança de sinal, logo um zero em . - Em
, ; em , . Há mudança de sinal, logo outro zero em .
Não existem mais trocas de sinal, então são só dois zeros reais. Vamos aproximar cada um.
Passo 4
Zero em
f(x0)=-0.5104, f'(x0)=-6.2480 ;Longrightarrow; x1 = -0.80000 - -0.5104-6.2480 = -0.88166 . Chute inicial:
f(x1)=+0.04062, f'(x1)=-7.2666 ;Longrightarrow; x2 = -0.88166 - 0.04062-7.2666 = -0.87607 .
Iterações:
n=0: f(x2)=0.00017, f'(x2)=-7.1943 ;Longrightarrow; x3 = -0.87607 - 0.00017-7.1943 = -0.8760476
Iterações:
n=0:
n=1:
n=2:
Diferença
. Então o zero é
Passo 5
Zero em
f(x0)=5.0625, f'(x0)=18.5 ;Longrightarrow; x1 = 1.50000 - 5.062518.5 = 1.22635 . Chute inicial:
f(x1)=1.03865, f'(x1)=11.2810 ;Longrightarrow; x2 = 1.22635 - 1.0386511.2810 = 1.13426 .
Iterações:
n=0: f(x2)=0.09420, f'(x2)=9.3734 ;Longrightarrow; x3 = 1.13426 - 0.094209.3734 = 1.12421
Iterações:
n=0:
n=1:
f(x4)=-0.00573, f'(x4)=9.1659 ;Longrightarrow; x5 = 1.12350 - -0.005739.1659 = 1.12413
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
Aqui
. Logo zero em
Resposta
Os zeros reais de
boxedxapprox -0.87605e xapprox 1.12414 , aproximados com precisão
pelo método de Newton, são: