Determine aproximações, com precisão de 10^-4, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
f(x)=x^4+2 x^2-x-3

Passo 1

Beleza, temos que achar, com precisão de f(x) = x^4 + 2x^2 - x - 3 , todos os zeros reais do polinômio
xn+1 = xn ;-;f(xn)f'(xn)
usando o método de Newton. Isso é parte de Análise Numérica: a gente vai precisar de
  1. saber o que é derivada,
  2. calcular ,
  3. usar a fórmula de Newton–Raphson
e iterar até a diferença entre iterações ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada:
f(x) = x^4 + 2x^2 - x - 3 Longrightarrow f'(x) = 4x^3 + 4x - 1
O método de Newton usa a reta tangente em xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) para achar . Cada passo é
A gente escolhe um chute inicial perto do zero e repete até .

Passo 3

Antes de iterar, identifiquemos onde estão os zeros reais:
  • Em , ; em , . Há mudança de sinal, logo um zero em .
  • Em , ; em , . Há mudança de sinal, logo outro zero em .
    Não existem mais trocas de sinal, então são só dois zeros reais. Vamos aproximar cada um.

Passo 4

Zero em f(x0)=-0.5104, f'(x0)=-6.2480 ;Longrightarrow; x1 = -0.80000 - -0.5104-6.2480 = -0.88166 . Chute inicial: f(x1)=+0.04062, f'(x1)=-7.2666 ;Longrightarrow; x2 = -0.88166 - 0.04062-7.2666 = -0.87607 .
Iterações:
n=0: f(x2)=0.00017, f'(x2)=-7.1943 ;Longrightarrow; x3 = -0.87607 - 0.00017-7.1943 = -0.8760476
n=1:
n=2:
Diferença . Então o zero é

Passo 5

Zero em f(x0)=5.0625, f'(x0)=18.5 ;Longrightarrow; x1 = 1.50000 - 5.062518.5 = 1.22635 . Chute inicial: f(x1)=1.03865, f'(x1)=11.2810 ;Longrightarrow; x2 = 1.22635 - 1.0386511.2810 = 1.13426 .
Iterações:
n=0: f(x2)=0.09420, f'(x2)=9.3734 ;Longrightarrow; x3 = 1.13426 - 0.094209.3734 = 1.12421
f(x3)=0.00650, f'(x3)=9.1863 ;Longrightarrow; x4 = 1.12421 - 0.006509.1863 = 1.12350
n=1: f(x4)=-0.00573, f'(x4)=9.1659 ;Longrightarrow; x5 = 1.12350 - -0.005739.1659 = 1.12413
f(x5)=-0.00007, f'(x5)=9.1777 ;Longrightarrow; x6 = 1.12413 - -0.000079.1777 = 1.12414
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
Aqui . Logo zero em

Resposta

Os zeros reais de boxedxapprox -0.87605e xapprox 1.12414 , aproximados com precisão pelo método de Newton, são:

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