Explique o motivo de se utilizar pivoteamento no método de eliminação de Gauss. Explique a estratégia de pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente entender por que a gente precisa de pivoteamento no método de eliminação de Gauss e também explicar como funciona o pivoteamento parcial. Isso é assunto de Álgebra Linear, mais exatamente o jeitinho de a gente resolver sistemas lineares usando operações de linha sem estourar a conta. Pra resolver isso, vamos precisar saber:
  • O que é uma operação elementar de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, etc.).
  • Como a eliminação de Gauss faz zero embaixo dos pivôs (elemento “da diagonal”).
  • Por que às vezes é preciso trocar linhas (pivoteamento) e, em particular, escolher o maior elemento em valor absoluto (pivoteamento parcial).

Passo 2

Por que pivoteamento?
  1. Evitar divisão por zero: se num passo a gente tenta dividir por um pivô mik = aikakk, e depois aij aij - mik,akj que é zero, dá pau total.
  2. Melhorar a estabilidade numérica: mesmo se não for zero, se for muito pequeno, dividir por ele amplifica erros de arredondamento.
Na eliminação de Gauss “pura” você faz, pra zerar um (com ):
Mas se , esse fica gigante e o arredondamento enlouquece. Pivoteamento serve pra pegar um pivô mais “grosso” (maior em valor absoluto) e manter tudo mais estável.

Passo 3

Estratégia de pivoteamento parcial
  1. Fixo o passo linhak long<=ftrightarrow linhap , olho TODA coluna mik = aikakk, aij aij - mik,akj das linhas .
  2. Encontro o índice que maximiza .
  3. Se , troco a linha com a linha :
  4. Agora o pivô é o maior elemento (em valor absoluto) daquela coluna, e sigo com a eliminação normal:
  5. Repito pra .
Isso garante que nunca tentamos dividir por zero (a não ser que toda a coluna abaixo também seja zero, aí o sistema é degenerado) e reduz bem os erros numéricos, porque pivôs maiores dão multiplicadores menores.

Resposta

A gente usa pivoteamento no método de Gauss para evitar divisão por zero e controlar os erros de arredondamento ao escolher pivôs “fortes” (não muito pequenos). Na estratégia de pivoteamento parcial, em cada passo a gente busca, na coluna a partir da linha , o elemento de maior valor absoluto, troca essa linha com a -ésima e só então faz a eliminação. Isso garante maior estabilidade numérica sem alterar a solução do sistema.

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