Explique o motivo de se utilizar pivoteamento no método de eliminação de Gauss. Explique a estratégia de pivoteamento parcial.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente entender por que a gente precisa de pivoteamento no método de eliminação de Gauss e também explicar como funciona o pivoteamento parcial. Isso é assunto de Álgebra Linear, mais exatamente o jeitinho de a gente resolver sistemas lineares usando operações de linha sem estourar a conta. Pra resolver isso, vamos precisar saber:
O que é uma operação elementar de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, etc.).
Como a eliminação de Gauss faz zero embaixo dos pivôs (elemento “da diagonal”).
Por que às vezes é preciso trocar linhas (pivoteamento) e, em particular, escolher o maior elemento em valor absoluto (pivoteamento parcial).
Passo 2
Por que pivoteamento?
Evitar divisão por zero: se num passo a gente tenta dividir por um pivô que é zero, dá pau total.
Melhorar a estabilidade numérica: mesmo se não for zero, se for muito pequeno, dividir por ele amplifica erros de arredondamento.
Na eliminação de Gauss “pura” você faz, pra zerar um (com ):
Mas se , esse fica gigante e o arredondamento enlouquece. Pivoteamento serve pra pegar um pivô mais “grosso” (maior em valor absoluto) e manter tudo mais estável.
Passo 3
Estratégia de pivoteamento parcial
Fixo o passo , olho TODA coluna das linhas .
Encontro o índice que maximiza .
Se , troco a linha com a linha :
Agora o pivô é o maior elemento (em valor absoluto) daquela coluna, e sigo com a eliminação normal:
Repito pra .
Isso garante que nunca tentamos dividir por zero (a não ser que toda a coluna abaixo também seja zero, aí o sistema é degenerado) e reduz bem os erros numéricos, porque pivôs maiores dão multiplicadores menores.
Resposta
A gente usa pivoteamento no método de Gauss para evitar divisão por zero e controlar os erros de arredondamento ao escolher pivôs “fortes” (não muito pequenos). Na estratégia de pivoteamento parcial, em cada passo a gente busca, na coluna a partir da linha , o elemento de maior valor absoluto, troca essa linha com a -ésima e só então faz a eliminação. Isso garante maior estabilidade numérica sem alterar a solução do sistema.