Seja o seguinte tabelamento:
|
1 | 1,5 | 2,5 | 3,5 |
---|---|---|---|---|
|
10 | 4,25 |
|
3,25 |
Determine o polinômio de grau 2,
que melhor se ajusta a este tabelamento mas que admite
e
como suas raízes. Use o arredondamento padrão e quatro casas decimais de precisão.
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: temos quatro pontos
com
e
.
A gente precisa achar um polinômio de grau 2,
A gente precisa achar um polinômio de grau 2,
que “melhor se ajusta” a esses pontos mas que já satisfaça
e
.
Isso é regressão linear (menor quadrado) com a condição de que 2 e 3 sejam raízes do polinômio.
Isso é regressão linear (menor quadrado) com a condição de que 2 e 3 sejam raízes do polinômio.
O que vamos usar:
- Imposição de raízes faz a forma ficar
. - Teoria dos mínimos quadrados para achar o
que minimiza .
Passo 2
Como
e
, a gente pode escrever
Ou seja,
logo
e
. Só falta achar
.
Passo 3
Vamos usar mínimos quadrados. Definimos o erro total
onde
e
. O mínimo ocorre quando
, isto é
Passo 4
Calcula-se
pra cada
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Agora, somas:
Passo 5
Então
Passo 6
Como
e
, temos
Resposta
O polinômio é