Seja o seguinte tabelamento:
xi 1 1,5 2,5 3,5
f(xi) 10 4,25 -1,25 3,25
Determine o polinômio de grau 2, P(x)=a x^2+b x+c que melhor se ajusta a este tabelamento mas que admite x=2 e x=3 como suas raízes. Use o arredondamento padrão e quatro casas decimais de precisão.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos quatro pontos P(x)=ax^2+bx+c, com
e
.
A gente precisa achar um polinômio de grau 2,
que “melhor se ajusta” a esses pontos mas que satisfaça e .
Isso é regressão linear (menor quadrado) com a condição de que 2 e 3 sejam raízes do polinômio.
O que vamos usar:
  • Imposição de raízes faz a forma ficar .
  • Teoria dos mínimos quadrados para achar o que minimiza .

Passo 2

Como P(x) ;=; a,(x-2)(x-3) ;=; al(x^2-5x+6r) e P(x)=a,x^2 - 5a,x + 6a, , a gente pode escrever
Ou seja,
logo e . Só falta achar .

Passo 3

Vamos usar mínimos quadrados. Definimos o erro total
S(a) ;=; sumi=1^4 l(P(xi)-f(xi)r)^2 = sumi=1^4 l(a,qi - fir)^2,
onde 2sumi (a,qi - fi),qi = 0 Longrightarrow a sumi qi^2 = sumi fi,qi e . O mínimo ocorre quando
, isto é

Passo 4

Calcula-se sumi fi,qi = 10cdot2 + 4,25cdot0,75 + (-1,25)cdot(-0,25) + 3,25cdot0,75 = 20 + 3,1875 + 0,3125 + 2,4375 = 25,9375 pra cada sumi qi^2 = 2^2 + 0,75^2 + (-0,25)^2 + 0,75^2 = 4 + 0,5625 + 0,0625 + 0,5625 = 5,1875 :
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
Agora, somas:

Passo 5

Então
a = sumi fi,qisumi qi^2 = 25,93755,1875 = 5,0000(arredondando em 4 casas)

Passo 6

Como b = -5cdot5,0000 = -25,0000, c = 6cdot5,0000 = 30,0000 e , temos

Resposta

O polinômio é
boxedP(x) = 5,0000,x^2 ;-;25,0000,x;+;30,0000

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