Determine a área de superficie do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que está abaixo do plano \mathrm{z}=16.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do paraboloide abaixo do plano. Informações claras que temos:
  • A superfície é dada por z = x^{2}+y^{2}.
  • A parte que queremos é a porção que está abaixo do plano z=16.
  • Isso determina a região de projeção no plano xy: todos os pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\le 16.
    O objetivo final: calcular a área dessa porção da superfície.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área da superfície é
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA.Á
O que cada símbolo significa:
  • f(x,y) é a função que dá a altura z.
  • \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em x e y — elas medem a inclinação da superfície nas direções x e y.
  • dA é um elemento de área na projeção no plano xy (que no caso cartesiano é dx\,dy, e em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta).
    Intuição rápida: a raiz quadrada corrige a área projetada por causa da inclinação da superfície; em pontos planos a raiz é 1 e a área coincide com a área projetada.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Substituindo na expressão da raiz:
1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2} =1+(2x)^{2}+(2y)^{2}=1+4x^{2}+4y^{2}.

Passo 4

É conveniente usar coordenadas polares porque a região D é um disco centrado na origem. Em polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
O elemento de área transforma como dA=r\,dr\,d\theta.
A raiz fica \sqrt{1+4r^{2}}.
A região D em polares é 0\le r\le 4 e 0\le \theta\le 2\pi porque x^{2}+y^{2}\le 16 implica r^{2}\le 16, logo r\le 4.

Passo 5

Montamos o integral da área em coordenadas polares:
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.Á
Como o integrando não depende de \theta além do limite, podemos separar:
\text{Área}=\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{4}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\right) =2\pi\int_{0}^{4}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr.Á

Passo 6

Calcular a integral radial por substituição. Seja
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{8}.
Quando r=0 temos u=1. Quando r=4 temos u=1+4\cdot 16=65.
Então
\int_{0}^{4}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr=\int_{u=1}^{65}u^{1/2}\cdot\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{65}u^{1/2}\,du.
A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{65}=\frac{1}{12}\left(65^{3/2}-1^{3/2}\right)=\frac{1}{12}\left(65^{3/2}-1\right).

Passo 7

Multiplicando pelo fator angular 2\pi:
\text{Área}=2\pi\cdot\frac{1}{12}\left(65^{3/2}-1\right)=\frac{\pi}{6}\left(65^{3/2}-1\right).Á
Podemos reescrever 65^{3/2} como 65\sqrt{65}, ficando uma forma mais explícita:
\text{Área}=\frac{\pi}{6}\left(65\sqrt{65}-1\right).Á
Se quiser uma aproximação numérica rápida (só para intuição): 65\sqrt{65}\approx 65\cdot8{,}0623\approx 524{,}05, então a área aproximada é \dfrac{\pi}{6}(524{,}05-1)\approx \dfrac{\pi}{6}\cdot523{,}05\approx 273{,}9 (unidades de área), mas a forma exata abaixo é a resposta que vamos reportar.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}\bigl(65\sqrt{65}-1\bigr)

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