Determine a área de superficie do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície do paraboloide abaixo do plano. Informações claras que temos:
- A superfície é dada por
. - A parte que queremos é a porção que está abaixo do plano
. - Isso determina a região de projeção no plano
: todos os pontos tais que .
O objetivo final: calcular a área dessa porção da superfície.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma superfície dada por
sobre uma região no plano , a área da superfície é
O que cada símbolo significa:
-
é a função que dá a altura . -
e são as derivadas parciais de em e — elas medem a inclinação da superfície nas direções e . -
é um elemento de área na projeção no plano (que no caso cartesiano é , e em coordenadas polares é ).
Intuição rápida: a raiz quadrada corrige a área projetada por causa da inclinação da superfície; em pontos planos a raiz ée a área coincide com a área projetada.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na expressão da raiz:
Passo 4
É conveniente usar coordenadas polares porque a região
é um disco centrado na origem. Em polares:
O elemento de área transforma como
.
A raiz fica .
A região em polares é
e
porque
implica
, logo
.
A raiz fica
A região
Passo 5
Montamos o integral da área em coordenadas polares:
Como o integrando não depende de
além do limite, podemos separar:
Passo 6
Calcular a integral radial por substituição. Seja
Quando
temos
. Quando
temos
.
Então
Então
A primitiva de
é
. Portanto
Passo 7
Multiplicando pelo fator angular
:
Podemos reescrever
como
, ficando uma forma mais explícita:
Se quiser uma aproximação numérica rápida (só para intuição):
, então a área aproximada é
(unidades de área), mas a forma exata abaixo é a resposta que vamos reportar.