Use o método de Newton-Raphson para determinar \sqrt[7]{50} com precisão da ordem de 10^{-4}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se determinar \sqrt[7]{50} com precisão da ordem de 10^{-4}.
  • Podemos reformular isso como encontrar a raiz positiva da equação
f(x)=x^{7}-50=0,
ou seja, encontrar x>0 tal que x^{7}=50.
  • Precisão da ordem de 10^{-4} significa que queremos um x tal que o erro absoluto aproximado seja menor ou da ordem de 10^{-4} (por exemplo, |\text{erro}|<10^{-4} ou, na prática de iterações, |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}).

Passo 2

Apresentando o método de Newton–Raphson (explicação didática).
  • A ideia do método de Newton–Raphson é aproximar a solução de f(x)=0 por sucessivas retas tangentes. Se x_n é uma aproximação atual, a reta tangente a f em x_n corta o eixo x num ponto que usamos como nova aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula geral é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • f(x) é a função cuja raiz se quer (no nosso caso f(x)=x^{7}-50);
  • f'(x) é a derivada de f (no nosso caso f'(x)=7x^{6});
  • x_n é a aproximação atual e x_{n+1} é a próxima aproximação.
  • Para a nossa função, substituindo,
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{7}-50}{7x_n^{6}}.
  • Simplificando a expressão (útil para calcular sem muita conta),
x_{n+1}=x_n-\frac{1}{7}\bigl(x_n-\tfrac{50}{x_n^{6}}\bigr) =\frac{6x_n+\tfrac{50}{x_n^{6}}}{7}.
Essa forma é mais prática: calcula-se x_n^{6}, faz-se 50/x_n^{6}, soma com 6x_n e divide por 7.

Passo 3

Escolha do palpite inicial e justificativa (como estimar sem calculadora).
  • Observação rápida de potências: 1{,}5^{7} é bem menor que 50 (cerca de 17), enquanto 2^{7}=128 é bem maior que 50. Logo a raiz está entre 1{,}5 e 2.
  • Uma escolha natural é x_0=1{,}75 porque (1{,}75)^{7} já fica bem perto de 50 (isto ajuda a convergir rápido). Então tomamos x_0=1{,}75.

Passo 4

Fórmula de iteração final que usaremos e critério de parada.
  • Usaremos
x_{n+1}=\frac{6x_n+\dfrac{50}{x_n^{6}}}{7}.
  • Critério prático de parada: parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}. Isso garante que a aproximação já não muda mais em mais de 10^{-4}, o que para esse tipo de método normalmente significa que alcançamos a precisão desejada.

Passo 5

Cálculo da primeira iteração x_0\to x_1 (detalhado e explicado).
  • Tomamos x_0=1{,}75=\dfrac{7}{4}. É útil observar potências exatas: \bigl(\tfrac{7}{4}\bigr)^{7}=\frac{7^{7}}{4^{7}}=\frac{823543}{16384}=50+\frac{4343}{16384}\approx50{,}265045\!,então (1{,}75)^{7} é um pouco maior que 50.
  • Calculamos x_0^{6}. Usando (1{,}75)^{6}=\dfrac{823543}{16384}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{3294172}{114688}\approx28{,}7229.
  • Agora \dfrac{50}{x_0^{6}}=\dfrac{50\cdot114688}{3294172}=\dfrac{1433600}{823543}. Fazendo a divisão obtém‑se aproximadamente \frac{50}{x_0^{6}}\approx1{,}740771.
  • Substituindo na fórmula x_1=\frac{6\cdot1{,}75+1{,}740771}{7}=\frac{10{,}5+1{,}740771}{7}=\frac{12{,}240771}{7}\approx1{,}7486815716.
  • Diferença |x_1-x_0|=|1{,}7486815716-1{,}75|\approx0{,}0013184, ainda maior que 10^{-4}, logo continuamos.

Passo 6

Cálculo da segunda iteração x_1\to x_2 e verificação do critério.
  • Primeiro calculamos x_1^{2} e x_1^{3} (usando multiplicações por aproximação controlada):
    x_1^{2}\approx3{,}05788723946,\qquad x_1^{3}=x_1^{2}\cdot x_1\approx5{,}3472662.
  • Então
    x_1^{6}=(x_1^{3})^{2}\approx5{,}3472662^{2}\approx28{,}593266.
  • Calculamos \dfrac{50}{x_1^{6}}:
    \frac{50}{28{,}593266}\approx1{,}748663.
  • Agora a fórmula dá
    x_2=\frac{6x_1+\dfrac{50}{x_1^{6}}}{7} =\frac{6\cdot1{,}7486815716+1{,}748663}{7} \approx\frac{10{,}49208943+1{,}748663}{7} =\frac{12{,}24075243}{7}\approx1{,}7486789189.
  • Diferença entre as iterações:
    |x_2-x_1|\approx|1{,}7486789189-1{,}7486815716|\approx2{,}65\times10^{-6},
    que é muito menor que 10^{-4}. Portanto já alcançamos a precisão desejada.
  • (Opcional verificação do resíduo) Podemos checar f(x_2)=x_2^{7}-50. Como as diferenças entre iterações são da ordem 10^{-6}, o resíduo também é muito pequeno, confirmando a boa aproximação.

Passo 7

Interpretação do resultado e arredondamento para a precisão pedida.
  • Obtivemos x_2\approx1{,}7486789189. Como queremos precisão da ordem 10^{-4}, podemos arredondar esse valor mantendo erro absoluto menor que 10^{-4}.
  • Arredondando x_2 para quatro casas decimais obtemos 1{,}7487. O erro do arredondamento é menor que 5\times10^{-5}, portanto satisfaz a exigência de ordem 10^{-4}.

Resposta

\sqrt[7]{50}\approx1{,}7487

Exercícios relacionados