Use o método de Newton-Raphson para determinar
com precisão da ordem de
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede-se determinar
com precisão da ordem de . - Podemos reformular isso como encontrar a raiz positiva da equação
ou seja, encontrar
tal que
.
- Precisão da ordem de
significa que queremos um tal que o erro absoluto aproximado seja menor ou da ordem de (por exemplo, ou, na prática de iterações, ).
Passo 2
Apresentando o método de Newton–Raphson (explicação didática).
- A ideia do método de Newton–Raphson é aproximar a solução de
por sucessivas retas tangentes. Se é uma aproximação atual, a reta tangente a em corta o eixo num ponto que usamos como nova aproximação . - A fórmula geral é
Aqui:
-
é a função cuja raiz se quer (no nosso caso ); -
é a derivada de (no nosso caso ); -
é a aproximação atual e é a próxima aproximação. - Para a nossa função, substituindo,
- Simplificando a expressão (útil para calcular sem muita conta),
Essa forma é mais prática: calcula-se
, faz-se
, soma com
e divide por
.
Passo 3
Escolha do palpite inicial e justificativa (como estimar sem calculadora).
- Observação rápida de potências:
é bem menor que (cerca de ), enquanto é bem maior que . Logo a raiz está entre e . - Uma escolha natural é
porque já fica bem perto de (isto ajuda a convergir rápido). Então tomamos .
Passo 4
Fórmula de iteração final que usaremos e critério de parada.
- Usaremos
- Critério prático de parada: parar quando
. Isso garante que a aproximação já não muda mais em mais de , o que para esse tipo de método normalmente significa que alcançamos a precisão desejada.
Passo 5
Cálculo da primeira iteração
(detalhado e explicado).
- Tomamos
. É útil observar potências exatas: então é um pouco maior que . - Calculamos
. Usando . - Agora
. Fazendo a divisão obtém‑se aproximadamente - Substituindo na fórmula
- Diferença
, ainda maior que , logo continuamos.
Passo 6
Cálculo da segunda iteração
e verificação do critério.
-
Primeiro calculamos
e (usando multiplicações por aproximação controlada): -
Então
-
Calculamos
: -
Agora a fórmula dá
-
Diferença entre as iterações:que é muito menor que
. Portanto já alcançamos a precisão desejada. -
(Opcional verificação do resíduo) Podemos checar
. Como as diferenças entre iterações são da ordem , o resíduo também é muito pequeno, confirmando a boa aproximação.
Passo 7
Interpretação do resultado e arredondamento para a precisão pedida.
- Obtivemos
. Como queremos precisão da ordem , podemos arredondar esse valor mantendo erro absoluto menor que . - Arredondando
para quatro casas decimais obtemos . O erro do arredondamento é menor que , portanto satisfaz a exigência de ordem .