Uma carga elétrica está distribuída sobre uma região triangular delimitada pelas retas \mathrm{y}=1, \mathrm{y}=1-\mathrm{x}, \mathrm{ex}=1, de maneira que a densidade de carga em um ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}) é dada por \sigma(x, y)=x y, medida em coulomb por metro quadrado. Calcule a carga total.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo o que foi fornecido):
  • A densidade superficial de carga é \sigma(x,y)=x\,y (em coulomb por metro quadrado).
  • A região onde a carga está distribuída é o triângulo limitado pelas retas \mathrm{y}=1, \mathrm{y}=1-\mathrm{x} e \mathrm{x}=1.
  • A tarefa: calcular a carga total, ou seja, o valor
Q=\iint_{D} \sigma(x,y)\,dA,
onde D é a região triangular indicada.

Passo 2

Vamos determinar os vértices do triângulo encontrando as interseções das retas (isto ajuda a visualizar os limites de integração).
  • Interseção de \mathrm{y}=1 com \mathrm{x}=1: tomar \mathrm{x}=1 em \mathrm{y}=1 dá o ponto (1,1).
  • Interseção de \mathrm{y}=1-\mathrm{x} com \mathrm{x}=1: substituir \mathrm{x}=1 em \mathrm{y}=1-\mathrm{x} \mathrm{y}=0, ponto (1,0).
  • Interseção de \mathrm{y}=1 com \mathrm{y}=1-\mathrm{x}: igualando 1=1-\mathrm{x} obtemos \mathrm{x}=0, então o ponto é (0,1).
Portanto os vértices do triângulo são (0,1), (1,1) e (1,0).

Passo 3

Descrever a região D e escolher a ordem de integração.
Observando os vértices, para cada x entre 0 e 1 a coordenada y varia entre a reta inferior \mathrm{y}=1-\mathrm{x} e a reta superior \mathrm{y}=1. Logo é conveniente integrar primeiro em y e depois em x.
Assim os limites são
0\le x\le1,\qquad 1-x\le y\le1.
Explicação física/matemática rápida: a carga elementar numa pequena área dA é dQ=\sigma(x,y)\,dA. Para somar todas as contribuições usamos a integral dupla
Q=\iint_{D} x y\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-x}^{1} x y\,dy\right)dx.
Aqui dA=dy\,dx porque escolhemos integrar primeiro em y.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em y). Como x é visto como constante ao integrar em y,
\int_{y=1-x}^{1} x y\,dy = x\int_{1-x}^{1} y\,dy.
Calcule a primitiva de y:
\int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2}.
Aplicando nos limites,
x\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=1-x}^{y=1} = x\cdot\frac{1}{2}\left(1^{2}-(1-x)^{2}\right).
Agora expandir (1-x)^{2}=1-2x+x^{2}, então
1-(1-x)^{2}=1-(1-2x+x^{2})=2x-x^{2}.
Substituindo,
x\cdot\frac{1}{2}(2x-x^{2})=\frac{x}{2}\cdot(2x-x^{2})=x^{2}-\frac{1}{2}x^{3}.
Portanto a integral interna resultou em x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{3}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
Q=\int_{0}^{1}\left(x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{3}\right)dx.
Integramos termo a termo. As primitivas são
\int x^{2}dx=\tfrac{1}{3}x^{3},\qquad \int x^{3}dx=\tfrac{1}{4}x^{4}.
Logo
Q=\left[\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{1} = \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{8}\right)-0.
Calcule a diferença:
\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{8}{24}-\tfrac{3}{24}=\tfrac{5}{24}.

Passo 6

Interpretação final e unidade: o resultado é a carga total contida no triângulo e a unidade é coulomb (porque \sigma estava em \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e integrou-se sobre uma área). Portanto a carga total é \tfrac{5}{24} coulombs. Boa! Você montou a região, colocou os limites direitinho e integrou polinômios — passos que caem fácil na prova depois de praticar um pouco.

Resposta

\dfrac{5}{24}\\ \mathrm{C}

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