Uma carga elétrica está distribuída sobre uma região triangular delimitada pelas retas
, de maneira que a densidade de carga em um ponto
é dada por
, medida em coulomb por metro quadrado. Calcule a carga total.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo o que foi fornecido):
- A densidade superficial de carga é
(em coulomb por metro quadrado). - A região onde a carga está distribuída é o triângulo limitado pelas retas
, e . - A tarefa: calcular a carga total, ou seja, o valor
onde
é a região triangular indicada.
Passo 2
Vamos determinar os vértices do triângulo encontrando as interseções das retas (isto ajuda a visualizar os limites de integração).
- Interseção de
com : tomar em dá o ponto . - Interseção de
com : substituir em dá , ponto . - Interseção de
com : igualando obtemos , então o ponto é .
Portanto os vértices do triângulo são
,
e
.
Passo 3
Descrever a região
e escolher a ordem de integração.
Observando os vértices, para cada entre
e
a coordenada
varia entre a reta inferior
e a reta superior
. Logo é conveniente integrar primeiro em
e depois em
.
Observando os vértices, para cada
Assim os limites são
Explicação física/matemática rápida: a carga elementar numa pequena área
é
. Para somar todas as contribuições usamos a integral dupla
Aqui
porque escolhemos integrar primeiro em
.
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
). Como
é visto como constante ao integrar em
,
Calcule a primitiva de
:
Aplicando nos limites,
Agora expandir
, então
Substituindo,
Portanto a integral interna resultou em
.
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Integramos termo a termo. As primitivas são
Logo
Calcule a diferença:
Passo 6
Interpretação final e unidade: o resultado é a carga total contida no triângulo e a unidade é coulomb (porque
estava em
e integrou-se sobre uma área). Portanto a carga total é
coulombs. Boa! Você montou a região, colocou os limites direitinho e integrou polinômios — passos que caem fácil na prova depois de praticar um pouco.