Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
\mathbf{r}(u, v)=\operatorname{sen} u \mathbf{i}+\cos u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+\operatorname{sen} v \mathbf{k} ; \quad u=\pi / 6, v=\pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
\mathbf{r}(u,v)=\sin u\,\mathbf{i}+\cos u\sin v\,\mathbf{j}+\sin v\,\mathbf{k}
no ponto dado por u=\pi/6, v=\pi/6. Para isso vamos:
  1. Encontrar o ponto P_0 na superfície.
  2. Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v.
  3. Avaliá-las em (\pi/6,\pi/6) para obter dois vetores tangentes.
  4. Fazer o produto vetorial para obter o vetor normal \mathbf{n}.
  5. Escrever a equação do plano usando \mathbf{n} e P_0.

Passo 2

Calcular o ponto P_0=\mathbf{r}(\tfrac\pi6,\tfrac\pi6):
x_0=\sin(\tfrac\pi6)=\tfrac12,\quad y_0=\cos(\tfrac\pi6)\sin(\tfrac\pi6)=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac12=\tfrac{\sqrt3}{4},\quad z_0=\sin(\tfrac\pi6)=\tfrac12.
Logo
P_0=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{4},\;\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} =\cos u\,\mathbf{i}-\sin u\sin v\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k},
\mathbf{r}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} =0\,\mathbf{i}+\cos u\cos v\,\mathbf{j}+\cos v\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar em \bigl(u,v\bigr)=(\tfrac\pi6,\tfrac\pi6):
\mathbf{r}_u(\tfrac\pi6,\tfrac\pi6) =\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\,-\tfrac{1}{4},\,0\Bigr), \quad \mathbf{r}_v(\tfrac\pi6,\tfrac\pi6) =\Bigl(0,\;\tfrac{3}{4},\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 5

O vetor normal é
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \tfrac{\sqrt3}{2}&-\tfrac14&0\\\\ 0&\tfrac34&\tfrac{\sqrt3}{2} \end{vmatrix} =\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{8},\,-\tfrac{3}{4},\,\tfrac{3\sqrt3}{8}\Bigr).
Multiplicando por -8 para simplificar obtemos
\mathbf{n}=(\sqrt3,\;6,\;-3\sqrt3).

Passo 6

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=\sqrt3, b=6, c=-3\sqrt3 e P_0:
\sqrt3\bigl(x-\tfrac12\bigr) +6\bigl(y-\tfrac{\sqrt3}{4}\bigr) -3\sqrt3\bigl(z-\tfrac12\bigr) =0.

Resposta

\sqrt3\bigl(x-\tfrac12\bigr) +6\bigl(y-\tfrac{\sqrt3}{4}\bigr) -3\sqrt3\bigl(z-\tfrac12\bigr)=0.

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