Determine a área da superfície.
A parte do plano x+2 y+3 z=1 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano
x + 2y + 3z = 1
que está dentro do cilindro vertical
x^2 + y^2 = 3.
O conteúdo é “área de superfície” de uma gráfica z = f(x,y) sobre uma região D do plano xy. Vamos usar a fórmula
\text{Área} = \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_y\bigr)^2}\,dA.Á

Passo 2

Expressamos o plano como gráfico de
z = f(x,y) = \frac{1 - x - 2y}{3},
e tomamos a projeção D no plano xy dada pelo disco
D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 3\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1 - x - 2y}{3}\Bigr) = -\frac{1}{3}, \quad f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1 - x - 2y}{3}\Bigr) = -\frac{2}{3}.

Passo 4

O fator de alongamento da área é
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}.

Passo 5

Como \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} é constante, a área é
\text{Área} = \iint_{D} \frac{\sqrt{14}}{3}\,dA = \frac{\sqrt{14}}{3}\,\bigl(\text{área de }D\bigr) = \frac{\sqrt{14}}{3}\,\bigl(\pi\cdot3\bigr) = \pi\sqrt{14}.Áá

Resposta

\pi\sqrt{14}

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