Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k} ; \quad u=1, v=\pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
\mathbf{r}(u,v)=u\cos v\,\mathbf{i}+u\sin v\,\mathbf{j}+v\,\mathbf{k}
no ponto correspondente a (u,v)=(1,\pi/3).
O conteúdo é superfícies parametrizadas e plano tangente, e vamos precisar das derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, do vetor normal obtido por produto vetorial e da forma ponto–normal do plano.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto da superfície em (1,\pi/3):
\mathbf{r}\bigl(1,\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\bigl(1\cdot\cos\tfrac{\pi}{3},\;1\cdot\sin\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais:
\mathbf{r}_u(u,v) =(\cos v,\;\sin v,\;0), \qquad \mathbf{r}_v(u,v) =(-u\sin v,\;u\cos v,\;1).

Passo 4

Avaliamo-las em (1,\pi/3) e fazemos o produto vetorial para achar o vetor normal:
\mathbf{r}_u\bigl(1,\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2},\;0\Bigr), \quad \mathbf{r}_v\bigl(1,\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac12,\;1\Bigr).
\mathbf{n} =\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[6pt] \tfrac12&\tfrac{\sqrt3}{2}&0\\[4pt] -\tfrac{\sqrt3}{2}&\tfrac12&1 \end{vmatrix} =\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\,-\tfrac12,\,1\Bigr).]

Passo 5

A forma ponto–normal do plano tangente é
\mathbf{n}\cdot\bigl(\,(x,y,z)-(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac{\pi}{3})\bigr)=0,
ou seja
\frac{\sqrt3}{2}\bigl(x-\tfrac12\bigr)-\frac12\bigl(y-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)+1\bigl(z-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=0.
Multiplicando tudo por 2 e simplificando obtemos
\sqrt3\,x - y +2z - \frac{2\pi}{3}=0.

Resposta

\boxed{\sqrt3\,x - y +2z = \frac{2\pi}{3}.}

Exercícios relacionados