Usando a regra do trapézio, determine o valor aproximado de integral0^1(x^4+x^3+x^2+2 x+2) d x com erro menor ou igual a 0,1. Para calcular o erro use integral0^1(x^4+x^3+x^2+2 x+2) d x=22760.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular de forma aproximada a integral de usando a regra do trapézio e garantir que o erro dessa aproximação seja no máximo 0,1. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a regra do trapézio e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do trapézio. Ela é um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios. A fórmula para a regra do trapézio com Tn = b - a2n [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + k cdot h) + f(b) ] subdivisões é:
onde:
  • é o intervalo de integração,
  • é a largura de cada subdivisão,
  • é a função que estamos integrando.

Passo 3

Nosso intervalo é de 0 a 1 ( e ), e a função é . Vamos escolher um valor para , que é o número de trapézios que vamos usar. Quanto maior o , melhor será a aproximação, mas também mais cálculos teremos que fazer.

Passo 4

Para garantir que o erro seja menor ou igual a 0,1, precisamos estimar o erro da regra do trapézio. A fórmula do erro máximo para a regra do trapézio é:
E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Então, precisamos calcular a segunda derivada de e encontrar seu valor máximo no intervalo [0,1].

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada de f'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 2 :
f''(x) = 12x^2 + 6x + 2
E a segunda derivada:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo [0,1].

Passo 6

Vamos analisar f''(1) = 12(1)^2 + 6(1) + 2 = 12 + 6 + 2 = 20 no intervalo [0,1]. Essa é uma função quadrática que abre para cima, então o valor mínimo ocorre no vértice. Porém, estamos interessados no valor máximo no intervalo.
Como a função está aumentando no intervalo de [0,1] (porque a derivada é positiva para ), o valor máximo de será em :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula do erro para encontrar o número mínimo de trapézios E <= (1 - 0)^312n^2 cdot 20 <= 0,1 que garante que o erro seja menor ou igual a 0,1:
2012n^2 <= 0,1 53n^2 <= 0,1 50,3 <= n^2 n^2 >= 50,3 approx 16,6667 n >= raiz16,6667 approx 4,082
Simplificando:
Como deve ser inteiro, vamos escolher .

Passo 8

Agora que sabemos que x0 = 0 x1 = 0,2 x2 = 0,4 x3 = 0,6 x4 = 0,8 x5 = 1 é suficiente para garantir que o erro seja menor ou igual a 0,1, vamos aplicar a regra do trapézio com 5 subdivisões.
Primeiro, calculamos f(0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 2 f(0,2) = (0,2)^4 + (0,2)^3 + (0,2)^2 + 2(0,2) + 2 = 0,0016 + 0,008 + 0,04 + 0,4 + 2 = 2,4496 f(0,4) = (0,4)^4 + (0,4)^3 + (0,4)^2 + 2(0,4) + 2 = 0,0256 + 0,064 + 0,16 + 0,8 + 2 = 3,0496 f(0,6) = (0,6)^4 + (0,6)^3 + (0,6)^2 + 2(0,6) + 2 = 0,1296 + 0,216 + 0,36 + 1,2 + 2 = 3,9056 f(0,8) = (0,8)^4 + (0,8)^3 + (0,8)^2 + 2(0,8) + 2 = 0,4096 + 0,512 + 0,64 + 1,6 + 2 = 5,1616 f(1) = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7 .
Agora, encontramos os pontos :
Calculamos para cada :

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula da regra do trapézio:
T5 = 0,22 [ f(0) + 2(f(0,2) + f(0,4) + f(0,6) + f(0,8)) + f(1) ]
Substituindo os valores:
T5 = 0,1 [ 2 + 2(2,4496 + 3,0496 + 3,9056 + 5,1616) + 7 ] T5 = 0,1 [ 2 + 2(14,5664) + 7 ] T5 = 0,1 [ 2 + 29,1328 + 7 ] T5 = 0,1 times 38,1328 T5 = 3,81328

Resposta

A aproximação da integral usando a regra do trapézio com 5 trapézios é , e o erro está dentro do limite de 0,1.

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