Usando a regra do trapézio, determine o valor aproximado de
com erro menor ou igual a
. Para calcular o erro use
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular de forma aproximada a integral de
usando a regra do trapézio e garantir que o erro dessa aproximação seja no máximo 0,1. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a regra do trapézio e como estimar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do trapézio. Ela é um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios. A fórmula para a regra do trapézio com
subdivisões é:
onde:
-
é o intervalo de integração, -
é a largura de cada subdivisão, -
é a função que estamos integrando.
Passo 3
Nosso intervalo é de 0 a 1 (
e
), e a função é
. Vamos escolher um valor para
, que é o número de trapézios que vamos usar. Quanto maior o
, melhor será a aproximação, mas também mais cálculos teremos que fazer.
Passo 4
Para garantir que o erro seja menor ou igual a 0,1, precisamos estimar o erro da regra do trapézio. A fórmula do erro máximo para a regra do trapézio é:
Então, precisamos calcular a segunda derivada de
e encontrar seu valor máximo no intervalo [0,1].
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de
no intervalo [0,1].
Passo 6
Vamos analisar
no intervalo [0,1]. Essa é uma função quadrática que abre para cima, então o valor mínimo ocorre no vértice. Porém, estamos interessados no valor máximo no intervalo.
Como a função está aumentando no intervalo de [0,1] (porque a derivada
é positiva para
), o valor máximo de
será em
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula do erro para encontrar o número mínimo de trapézios
que garante que o erro seja menor ou igual a 0,1:
Simplificando:
Como
deve ser inteiro, vamos escolher
.
Passo 8
Agora que sabemos que
é suficiente para garantir que o erro seja menor ou igual a 0,1, vamos aplicar a regra do trapézio com 5 subdivisões.
Primeiro, calculamos
.
Agora, encontramos os pontos
:
Calculamos
para cada
:
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula da regra do trapézio:
Substituindo os valores:
Resposta
A aproximação da integral usando a regra do trapézio com 5 trapézios é
, e o erro está dentro do limite de 0,1.