Determine os autovalores da matriz
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra achar os autovalores (λ’s) da matriz
Isso é de Álgebra Linear, onde “autovalor” é λ tal que
. Vamos precisar:
- Montar
. - Calcular o determinante pra achar o polinômio característico.
- Resolver esse polinômio
e encontrar as raízes.
Passo 2
Primeiro a gente monta
Por definição, os autovalores são as soluções de
Passo 3
Vamos usar a expansão pelo método dos cofactores na primeira linha:
Agora cada determinante 2×2 é
a&bc&d .
Passo 4
Fazendo as contas (é só cuidado com sinais):
-
.det(A - lambda I) = -lambda^3 +17lambda^2 -75lambda +91 -
.-lambda^3 +17lambda^2 -75lambda +91 = 0 Long<=ftrightarrow lambda^3 -17lambda^2 +75lambda -91 = 0 -
.
Substituindo tudo, a gente chega em
Ou seja, o polinômio característico é
Passo 5
Agora precisamos resolver
.
- Testamos raízes racionais (±1,±7,±13,±91) e não achamos nenhuma.
- Como é simétrica, sabemos que as três são reais, mas não inteiras.
- Usamos um método numérico simples (busca intervalar + afunilamento) pra aproximar as raízes.
Passo 6
Fazendo a busca (avaliando o polinômio em pontos e afunilando), obtemos três soluções aproximadas:
Resposta
Os autovalores da matriz são aproximadamente