Determine os autovalores da matriz rrr4 & -2 & 3 -2 & 5 & -2 3 & -2 & 8.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra achar os autovalores (λ’s) da matriz
A = 4 & -2 & 3 -2 & 5 & -2 3 & -2 & 8
Isso é de Álgebra Linear, onde “autovalor” é λ tal que . Vamos precisar:
  1. Montar .
  2. Calcular o determinante pra achar o polinômio característico.
  3. Resolver esse polinômio e encontrar as raízes.

Passo 2

Primeiro a gente monta
A - lambda I = 4-lambda & -2 & 3 -2 & 5-lambda & -2 3 & -2 & 8-lambda
Por definição, os autovalores são as soluções de
det(A - lambda I) = 0

Passo 3

Vamos usar a expansão pelo método dos cofactores na primeira linha:
det(A - lambda I) =(4-lambda)det5-lambda & -2-2 & 8-lambda -(-2)det-2 & -23 & 8-lambda +3det-2 & 5-lambda3 & -2
Agora cada determinante 2×2 é a&bc&d.

Passo 4

Fazendo as contas (é só cuidado com sinais):
  1. det(A - lambda I) = -lambda^3 +17lambda^2 -75lambda +91 .
  2. -lambda^3 +17lambda^2 -75lambda +91 = 0 Long<=ftrightarrow lambda^3 -17lambda^2 +75lambda -91 = 0 .
  3. .
Substituindo tudo, a gente chega em
Ou seja, o polinômio característico é

Passo 5

Agora precisamos resolver .
  1. Testamos raízes racionais (±1,±7,±13,±91) e não achamos nenhuma.
  2. Como é simétrica, sabemos que as três são reais, mas não inteiras.
  3. Usamos um método numérico simples (busca intervalar + afunilamento) pra aproximar as raízes.

Passo 6

Fazendo a busca (avaliando o polinômio em pontos e afunilando), obtemos três soluções aproximadas:
lambda1 approx 2,05, lambda2 approx 4,08, lambda3 approx 10,87

Resposta

Os autovalores da matriz são aproximadamente
boxed2,05, 4,08, 10,87

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