Questão 11 (CHAPRA, 2016 - questão 25.5 pág. 623) Use o método de Euler e o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a seguinte EDO no intervalo 0<=t<=2
D yD t=t^2-y, y(0)=1. Compare os resultados numéricos com a solução exata da equação e determine o erro relativo.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver a EDO
dydt = t^2 - y, y(0)=1
no intervalo , usando:
  1. Método de Euler explícito
  2. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4)
    Além disso, comparar com a solução exata e calcular o erro relativo.
    O que vamos precisar:
    • Saber resolver EDO linear 1ª ordem (fator integrante) para achar a solução exata.
    • Entender fórmula do método de Euler:
    .
    • Entender fórmula do RK4:
k1 = f(t_n,y_n)
k2 = f(t_n + h/2, y_n + h·k1/2)
k3 = f(t_n + h/2, y_n + h·k2/2)
k4 = f(t_n +   h, y_n + h·k3)
y_{n+1} = y_n + (h/6)(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
• Escolher um passo . A gente vai usar (4 passos de 0 a 2).

Passo 2

Primeiro, a solução exata da EDO linear
ddtl(y,e^tr) = t^2,e^t Longrightarrow y,e^t = integral t^2 e^t,dt + C .
Usa fator integrante y,e^t = e^t(t^2 - 2t +2) + C ;Longrightarrow; y(t) = t^2 -2t +2 + C,e^-t :
boxedyrm ex(t) = t^2 - 2t +2 - e^-t
Sabendo que ,
temos
Como ,
.
Então a exata é

Passo 3

Método de Euler com boxedyE(2)=1.46875 .
Definindo , tabelinha de iterações:
n
0 0.0 1.000000
1 0.5 0.500000
2 1.0 0.375000
3 1.5 0.687500
4 2.0 1.468750
Logo, no ponto o método de Euler dá

Passo 4

Método de Runge-Kutta 4ª ordem ( boxedyRK4(2)=1.865881 ).
Iteramos do mesmo jeito, mas agora calculamos .
Resumo do cálculo (arredondado na digitação):
Passo
1 0.0 1.000000 0.643880
2 0.5 0.643880 0.632875
3 1.0 0.632875 1.027890
4 1.5 1.027890 1.865881
Então, em ,

Passo 5

Agora o erro relativo em cada método no ponto yrm ex(2)=2^2 -2cdot2 +2 - e^-2 = 2 - e^-2approx1.8646647 .
Solução exata:
erroE = |1.46875 -1.8646647|1.8646647 approx0.2124(,21.24%)
• Euler:
erroRK4 = |1.865881 -1.8646647|1.8646647 approx0.00065(,0.065%)
• RK4:

Resposta

Método de Euler ( ):
, erro relativo ≈21.24%.
Método RK4 ( ):
, erro relativo ≈0.065%.

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