Questão 11 (CHAPRA, 2016 - questão 25.5 pág. 623) Use o método de Euler e o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a seguinte EDO no intervalo
. Compare os resultados numéricos com a solução exata da equação e determine o erro relativo.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é resolver a EDO
no intervalo
, usando:
- Método de Euler explícito
- Método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4)
Além disso, comparar com a solução exata e calcular o erro relativo.
O que vamos precisar:
• Saber resolver EDO linear 1ª ordem (fator integrante) para achar a solução exata.
• Entender fórmula do método de Euler:
.
• Entender fórmula do RK4:
k1 = f(t_n,y_n)
k2 = f(t_n + h/2, y_n + h·k1/2)
k3 = f(t_n + h/2, y_n + h·k2/2)
k4 = f(t_n + h, y_n + h·k3)
y_{n+1} = y_n + (h/6)(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
• Escolher um passo
. A gente vai usar
(4 passos de 0 a 2).
Passo 2
Primeiro, a solução exata da EDO linear
.
Usa fator integrante :
Usa fator integrante
Sabendo que
,
temos
temos
Como
,
→
.
Então a exata é
Então a exata é
Passo 3
Método de Euler com
.
Definindo , tabelinha de iterações:
Definindo
n |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
0 | 0.0 | 1.000000 |
|
|
1 | 0.5 | 0.500000 |
|
|
2 | 1.0 | 0.375000 |
|
|
3 | 1.5 | 0.687500 |
|
|
4 | 2.0 | 1.468750 | — | — |
Logo, no ponto
o método de Euler dá
Passo 4
Método de Runge-Kutta 4ª ordem (
).
Iteramos do mesmo jeito, mas agora calculamos .
Resumo do cálculo (arredondado na digitação):
Iteramos do mesmo jeito, mas agora calculamos
Resumo do cálculo (arredondado na digitação):
Passo |
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0.0 | 1.000000 |
|
|
|
|
0.643880 |
2 | 0.5 | 0.643880 |
|
|
|
|
0.632875 |
3 | 1.0 | 0.632875 |
|
|
|
|
1.027890 |
4 | 1.5 | 1.027890 |
|
|
|
|
1.865881 |
Então, em
,
Passo 5
Agora o erro relativo em cada método no ponto
.
Solução exata:
Solução exata:
• Euler:
• RK4:
Resposta
Método de Euler (
):
, erro relativo ≈21.24%.
Método RK4 (
):
, erro relativo ≈0.065%.