Questão 12 (RUGGIERO, 1998 - questão MODIFICADA 8.7 pág. 285) Resolva numericamente a seguinte EDO usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem para
.
Compare os resultados com a solução exata da equação.
Compare os resultados com a solução exata da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede para resolver numericamente a EDO
no intervalo
usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem com passo
. Depois a gente compara com a solução exata.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e métodos numéricos (RK2). Vamos precisar da fórmula do RK2 (variante de Heun) e também da integração para achar a solução analítica.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e métodos numéricos (RK2). Vamos precisar da fórmula do RK2 (variante de Heun) e também da integração para achar a solução analítica.
Passo 2
Teoria do método de Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun):
- Definimos
- O próximo valor é
Aqui
. Não pulamos nada: a cada passo a gente calcula primeiro
no ponto atual, depois
no ponto avançado, e faz a média ponderada.
Passo 3
Vamos iterar de
até
com
.
Passo a passo:
-
Para
: , .
.
.
-
Para
: , .
-
Para
: , .
-
Para
: , .
Passo 4
Agora a solução exata:
É uma EDO linear, fator integrante . A gente acha
É uma EDO linear, fator integrante
Calculando nos mesmos pontos:
Comparando com o numérico, dá erro crescente, mas beleza, o RK2 tá funcionando.
Resposta
Aproximações pelo RK2 (Heun),
:
t = 0.5 → y ≈ 3.625
t = 1.0 → y ≈ 7.203125
t = 1.5 → y ≈ 13.955078125
t = 2.0 → y ≈ 25.864501953125
t = 0.5 → y ≈ 3.625
t = 1.0 → y ≈ 7.203125
t = 1.5 → y ≈ 13.955078125
t = 2.0 → y ≈ 25.864501953125
Solução exata para comparar:
t = 0.5 → y ≈ 3.743605
t = 1.0 → y ≈ 7.591409
t = 1.5 → y ≈ 14.908445
t = 2.0 → y ≈ 27.945280
t = 0.5 → y ≈ 3.743605
t = 1.0 → y ≈ 7.591409
t = 1.5 → y ≈ 14.908445
t = 2.0 → y ≈ 27.945280