Questão 12 (RUGGIERO, 1998 - questão MODIFICADA 8.7 pág. 285) Resolva numericamente a seguinte EDO usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem para 0<=t<=2 com h=0.5
d yd t=3 t+y, y(0)=2.
Compare os resultados com a solução exata da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede para resolver numericamente a EDO
dydt = 3t + y, y(0)=2
no intervalo usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem com passo . Depois a gente compara com a solução exata.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (EDO) e métodos numéricos (RK2). Vamos precisar da fórmula do RK2 (variante de Heun) e também da integração para achar a solução analítica.

Passo 2

Teoria do método de Runge–Kutta de 2ª ordem (Heun):
  1. Definimos
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn + h,;yn + h,k1r)
  1. O próximo valor é
yn+1 = yn + h2,l(k1 + k2r)
Aqui . Não pulamos nada: a cada passo a gente calcula primeiro no ponto atual, depois no ponto avançado, e faz a média ponderada.

Passo 3

Vamos iterar de até com .
Passo a passo:
  • Para : , .
    .
    .
  • Para : , .


  • Para : , .


  • Para : , .


Passo 4

Agora a solução exata:
É uma EDO linear, fator integrante y(t) = 5e^t -3t -3 . A gente acha
Calculando nos mesmos pontos:
Comparando com o numérico, dá erro crescente, mas beleza, o RK2 tá funcionando.

Resposta

Aproximações pelo RK2 (Heun), :
t = 0.5 → y ≈ 3.625
t = 1.0 → y ≈ 7.203125
t = 1.5 → y ≈ 13.955078125
t = 2.0 → y ≈ 25.864501953125
Solução exata para comparar:
t = 0.5 → y ≈ 3.743605
t = 1.0 → y ≈ 7.591409
t = 1.5 → y ≈ 14.908445
t = 2.0 → y ≈ 27.945280

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