Determine a, b e c de maneira a tornar mínimo o valor de:
integral0^1(a+b x+c cos 2 pi x-sin 2 pi x)^2 d x

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é encontrar os números a, b e c que “aproximam” da melhor forma (no sentido de erro quadrático) a função f(x)=sin(2πx) por um polinômio/trigonométrico do tipo
P(x)=a + b,x + ccos(2pi x)
no intervalo [0,1].
Conteúdo: projeção em espaços de funções (norma L²) e ortogonalidade. Vamos precisar conhecer a noção de “resto” (residual), produto interno (integral de produto) e integrar por partes para alguns termos trigonométricos.

Passo 2

A gente define o erro (residual)
r(x)=P(x)-sin(2pi x)=a + b,x + ccos(2pi x)-sin(2pi x)
Para minimizar , exigimos que seja ortogonal às funções-base 1, x e , ou seja:

  1. Isso gera um sistema de três equações lineares em a, b, c.

Passo 3

Vamos calcular cada integral:
  1. ∫₀¹r(x)dx=0
integral0^1 (a + b x + ccos(2pi x)-sin(2pi x)),dx =acdot1 + bcdot12 + ccdot0 - 0 = 0
integral0^1 x(a + b x + ccos(2pi x)-sin(2pi x)),dx =;a12 + b13 + cunderbraceintegral0^1 xcos(2pi x),dx0 ;-;underbraceintegral0^1 xsin(2pi x),dx-1/(2pi)=0
  1. ∫₀¹ x,r(x)dx=0
a2+ b3 + 12pi=0
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integral0^1 cos(2pi x)(a + b x + ccos(2pi x)-sin(2pi x)),dx =acdot0 + bcdot0 + cintegral0^1cos^2(2pi x),dx - 0 = 0
  1. ∫₀¹ cos(2πx)·r(x)dx=0
a + tfrac b2 =0, tfrac a2 + tfrac b3 + tfrac12pi=0,
E -tfrac b4 + tfrac b3 + tfrac12pi=0 Longrightarrow tfrac b12 + tfrac12pi=0 Longrightarrow b=-6pi, .
Então .
Agora resolvendo
da primeira . Substituindo na segunda:
e aí .

Resposta

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