Determine e de maneira a tornar mínimo o valor de:
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é encontrar os números a, b e c que “aproximam” da melhor forma (no sentido de erro quadrático) a função f(x)=sin(2πx) por um polinômio/trigonométrico do tipo
no intervalo [0,1].
Conteúdo: projeção em espaços de funções (norma L²) e ortogonalidade. Vamos precisar conhecer a noção de “resto” (residual), produto interno (integral de produto) e integrar por partes para alguns termos trigonométricos.
Passo 2
A gente define o erro (residual)
Para minimizar , exigimos que seja ortogonal às funções-base 1, x e , ou seja:
Isso gera um sistema de três equações lineares em a, b, c.
Passo 3
Vamos calcular cada integral:
∫₀¹r(x)dx=0
→
∫₀¹ x,r(x)dx=0
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integral0^1 cos(2pi x)(a + b x + ccos(2pi x)-sin(2pi x)),dx =acdot0 + bcdot0 + cintegral0^1cos^2(2pi x),dx - 0 = 0