Para quais valores de a, a função f(z)=x^2-y^2+i a x y satisfaz as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Para quais valores de f(z)=x^2-y^2+i,a,x,y , a função
partial upartial x = partial vpartial y, partial upartial y = -,partial vpartial x
satisfaz as equações de Cauchy-Riemann?”
Conteúdo: a gente tá mexendo com funções de variável complexa e as tais equações de Cauchy-Riemann.
O que vamos precisar:
  1. Escrever .
  2. Calcular as derivadas parciais , , , .
  3. Impor as equações de Cauchy-Riemann:

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes real e imaginária de u(x,y) = x^2 - y^2, v(x,y) = a,x,y :
Explicando rapidinho: em geral escrevemos pra poder aplicar as derivadas parciais.

Passo 3

Agora vamos achar as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, impomos as equações de Cauchy-Riemann:
  1. 2x = a,x vira
-2y = -,a,y ;Longrightarrow; -2y = -a,y
  1. 2x = a,xforall x Longrightarrow a=2, vira
-2y = -a,yforall y Longrightarrow a=2
Para que isso role pra todo , precisamos que
e também

Resposta

A função satisfaz as equações de Cauchy-Riemann somente quando
boxeda = 2

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