Sabe-se que p(x)=3 x / 4 é o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função f(x) no intervalo [-1,1] pelo método dos mínimos quadrados (com o produto interno lang<= f, grang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x, onde f(x)=x^2, se x in[0,1] e f(x)=-x^2, se x in[-1,0]. Sabendo que as funções 1, x e x^2-1 / 3 são os 3 primeiros polinômios mônicos ortogonais em relação ao produto interno dado, determine o polinômio de grau menor ou igual a 3 que melhor aproxima f(x) em [-1,1] pelo MMQ.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: temos uma função
f(x)=x^2,&xin[0,1],-x^2,&xin[-1,0],
e já sabemos que o melhor polinômio de grau ≤2 que aproxima p2(x)=tfrac34x no método dos mínimos quadrados (produto interno phi0(x)=1, phi1(x)=x, phi2(x)=x^2-tfrac13) é
As três primeiras funções monicas ortogonais são
Precisamos achar agora o polinômio de grau ≤3 que melhor aproxima em .
Matéria: projeção em base ortogonal (mínimos quadrados).
O que vamos precisar:
  1. Identificar o polinômio monico ortogonal de grau 3, .
  2. Calcular o coeficiente .
  3. Montar .

Passo 2

A base ortogonal monica até grau 3 é:
phi0(x)=1, phi1(x)=x, phi2(x)=x^2-tfrac13, phi3(x)=x^3-tfrac35,x
(este vem dos polinômios de Legendre ajustados para serem monicos).

Passo 3

Por teoria de projeção em base ortogonal, a melhor aproximação de grau ≤3 é
p3(x) =sumk=0^3lang<= f,phikrang<=lang<=phik,phikrang<=,phik(x),
Já sabemos que c3=lang<= f,phi3rang<=lang<=phi3,phi3rang<= e , logo os coeficientes para e são zero.
Também já temos , isto é, o termo em continua .
Falta só achar

Passo 4

Calcular o numerador
lang<= f,phi3rang<= =integral-1^1 f(x),(x^3-tfrac35x),dx =integral-1^1 f(x)x^3,dx;-;tfrac35integral-1^1 f(x)x,dx
  1. lang<= f,phi3rang<= =0;-;tfrac35cdottfrac12 =-tfrac310 : note que para , , e para , . Logo o integrando é , que é ímpar, e a integral em dá 0.
  2. . Como já usamos antes, isso vale .
Então

Passo 5

Calcular o denominador
lang<=phi3,phi3rang<= =integral-1^1l(x^3-tfrac35xr)^2dx =integral-1^1l(x^6-tfrac65x^4+tfrac925x^2r)dx
Sabendo que
lang<=phi3,phi3rang<= =27-65cdot25+925cdot23 =27-1225+1875 =8175 ,
c3 =-tfrac310tfrac8175 =-310cdot1758 =-10516 ,
,
temos
Logo

Passo 6

Agora montamos
p3(x) =underbrace0phi0 +underbracetfrac34phi1x +underbrace0phi2(x^2-tfrac13) +underbracel(-tfrac10516r)phi3l(x^3-tfrac35xr)
Distribuindo e reunindo termos em p3(x) =-10516x^3 +l(tfrac34+tfrac10516cdottfrac35r)x =-10516x^3+7516x e , dá

Resposta

boxedp3(x)=-10516,x^3+7516,x

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