Sabe-se que é o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima a função no intervalo pelo método dos mínimos quadrados (com o produto interno , onde , se e , se . Sabendo que as funções , e são os 3 primeiros polinômios mônicos ortogonais em relação ao produto interno dado, determine o polinômio de grau menor ou igual a 3 que melhor aproxima em pelo MMQ.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: temos uma função
e já sabemos que o melhor polinômio de grau ≤2 que aproxima no método dos mínimos quadrados (produto interno ) é
As três primeiras funções monicas ortogonais são
Precisamos achar agora o polinômio de grau ≤3 que melhor aproxima em .
Matéria: projeção em base ortogonal (mínimos quadrados).
O que vamos precisar:
Identificar o polinômio monico ortogonal de grau 3, .
Calcular o coeficiente .
Montar .
Passo 2
A base ortogonal monica até grau 3 é:
(este vem dos polinômios de Legendre ajustados para serem monicos).
Passo 3
Por teoria de projeção em base ortogonal, a melhor aproximação de grau ≤3 é
Já sabemos que e , logo os coeficientes para e são zero.
Também já temos , isto é, o termo em continua .
Falta só achar
Passo 4
Calcular o numerador
: note que para , , e para , . Logo o integrando é , que é ímpar, e a integral em dá 0.
. Como já usamos antes, isso vale .
Então
Passo 5
Calcular o denominador
Sabendo que , , ,
temos
Logo
Passo 6
Agora montamos
Distribuindo e reunindo termos em p3(x) =-10516x^3 +l(tfrac34+tfrac10516cdottfrac35r)x =-10516x^3+7516x e , dá