Explique porque a equação
admite uma solução no intervalo
.
Tomando
como função de iteração e
como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?
Tomando
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução em
.
2) Verificar, para o método do ponto-fixo com
2) Verificar, para o método do ponto-fixo com
se a iteração converge.
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema de Bolzano (teorema do valor intermediário) para garantir existência de raiz.
- Teorema do ponto-fixo (ou critério de contração) para ver se a iteração converge.
Passo 2
Primeiro, definimos
- Note que
é contínua em (soma e produto de funções contínuas). - Avaliando nos extremos:
Como
e
têm sinais opostos, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um
tal que
Passo 3
Agora vamos ao método do ponto-fixo
Para aplicar o teorema da contração, precisamos de dois pontos:
a) leva
em si mesma?
a)
- Se
, então . OK.
b)deve ser contração em , i.e. . - Calculamos
- Em
, varia de a . O máximo é , não estritamente menor do que 1.
Logo, não temos
. Isso quebra a hipótese do teorema de Banach, ou seja, não há garantia teórica de convergência ao usarmos
.
Resposta
- A equação
tem solução em pelo teorema de Bolzano. - Embora na prática a sequência
com tenda ao ponto fixo, o critério de contração falha em porque . Logo, não podemos afirmar a convergência pelo teorema do ponto-fixo.