Explique porque a equação e^-x=x admite uma solução no intervalo [0,1].
Tomando varphi(x)=e^-x como função de iteração e x0=0 como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a equação
e^-x = x
tem pelo menos uma solução em varphi(x) = e^-x, x0=0, .
2) Verificar, para o método do ponto-fixo com
se a iteração converge.
Conteúdo que vamos usar:
  • Teorema de Bolzano (teorema do valor intermediário) para garantir existência de raiz.
  • Teorema do ponto-fixo (ou critério de contração) para ver se a iteração converge.

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x) = e^-x - x
  1. Note que f(0) = e^0 - 0 = 1 > 0, é contínua em f(1) = e^-1 - 1 approx 0,3679 - 1 = -0,6321 < 0 (soma e produto de funções contínuas).
  2. Avaliando nos extremos:
f(c) = 0 Longrightarrow e^-c = c
Como e têm sinais opostos, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um tal que

Passo 3

Agora vamos ao método do ponto-fixo
xn+1 = varphi(xn) = e^-xn, x0=0
Para aplicar o teorema da contração, precisamos de dois pontos:
a) varphi'(x) = -e^-x, |varphi'(x)| = e^-x leva em si mesma?
  • Se , então . OK.
    b) deve ser contração em , i.e. .
  • Calculamos
  • Em , varia de a . O máximo é , não estritamente menor do que 1.
Logo, não temos . Isso quebra a hipótese do teorema de Banach, ou seja, não há garantia teórica de convergência ao usarmos .

Resposta

  1. A equação tem solução em pelo teorema de Bolzano.
  2. Embora na prática a sequência com tenda ao ponto fixo, o critério de contração falha em porque . Logo, não podemos afirmar a convergência pelo teorema do ponto-fixo.

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