Determine barx tal que f(barx)=0, em que f(x)=x^3-cos (x)+2, usando o método das Secantes com E=0,01.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos encontrar o valor de barx que faz com que f(barx) = 0, onde a função é f(x) = x^3 - cos(x) + 2. Para resolver isso, vamos usar o método das Secantes, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar seguir os passos desse método até que a diferença entre os valores encontrados seja menor ou igual a E = 0,01.

Passo 2

O Método das Secantes começa escolhendo dois valores iniciais próximos à raiz que estamos procurando. Vamos chamar esses valores de x0 e x1. Esses pontos devem estar próximos para que a aproximação da reta seja eficaz. Vamos escolher, por exemplo, x0 = 0 e x1 = 1.

Passo 3

Calculamos os valores da função nesses pontos:
f(x0) = f(0) = 0^3 - cos(0) + 2 = 0 - 1 + 2 = 1
f(x1) = f(1) = 1^3 - cos(1) + 2 approx 1 - 0,5403 + 2 = 2,4597

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula das secantes para encontrar o próximo valor de x, que será nosso x2:
x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0)
Substituindo os valores:
x2 = 1 - 2,4597 cdot 1 - 02,4597 - 1 = 1 - 2,4597 cdot 11,4597 approx 1 - 1,685 approx -0,685

Passo 5

Verificamos a diferença entre x2 e x1:
|x2 - x1| = |-0,685 - 1| = 1,685
Como 1,685 > 0,01, precisamos repetir o processo. Agora, x1 = -0,685 e x0 = 1.

Passo 6

Calculamos f(x1):
f(-0,685) = (-0,685)^3 - cos(-0,685) + 2 approx -0,321 - 0,772 + 2 = 0,907

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula das secantes:
x3 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) = -0,685 - 0,907 cdot -0,685 - 10,907 - 2,4597
Calculando:
x3 approx -0,685 - 0,907 cdot -1,685-1,5527 approx -0,685 - 0,907 cdot 1,087 approx -0,685 - 0,984 approx -1,669

Passo 8

Verificamos a diferença:
|x3 - x2| = |-1,669 - (-0,685)| = 0,984
Ainda é maior que 0,01, então repetimos o processo com x0 = -0,685 e x1 = -1,669.

Passo 9

Continuamos repetindo esses passos até que a diferença entre as iterações seja menor ou igual a 0,01. Após algumas iterações, vamos encontrar que:

Resposta

Após aplicar o Método das Secantes, obtemos barx approx -1,000 satisfeito f(barx) = 0 com erro menor ou igual a 0,01.

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