A tabela abaixo fornece o número de bactérias (por unidade de volume) existentes em uma cultura após x horas.
c|ccccccc $n^circ$ de horas & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline $n^circ$ de bactérias & 32 & 47 & 65 & 92 & 132 & 190 & 275 de horas 0 1 2 3 4 5 6
de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
Determine o número de bactérias depois de 10,4 horas.

Passo 1

O problema nos mostra uma tabela com a quantidade de bactérias por unidade de volume em diferentes horários, de 0 a 6 horas. Precisamos descobrir quantas bactérias teremos após 10,4 horas. Vamos usar conceitos de modelagem matemática de crescimento e interpolação/extrapolação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os dados que temos:
c|ccccccc Horas & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline Bactérias & 32 & 47 & 65 & 92 & 132 & 190 & 275 é
Observamos que o número de bactérias está crescendo a cada hora. Isso sugere que podemos modelar esse crescimento com uma função exponencial, que é comum para populações bacterianas.

Passo 3

A forma geral de uma função exponencial é:
N(t) = N0 cdot e^kt
Onde:
  • $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
  • $ k $ é a taxa de crescimento.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.
Vamos usar os dados para encontrar os valores de $ N_0 $ e $ k $.

Passo 4

Sabemos que quando $ t = 0 $, $ N(0) = 32 $. Substituindo na equação:
t = 0
Agora, temos:
N(0) = 32

Passo 5

Para encontrar $ k $, pegamos outro ponto da tabela, por exemplo, $ t = 1 $ hora com $ N(1) = 47 $:
k
Calculando:
t = 1

Passo 6

Agora que temos $ k $, a função fica:
k

Passo 7

Para encontrar o número de bactérias após 10,4 horas, substituímos $ t = 10,4 $:
t = 10,4
Calculando o expoente:
N(10,4) = 32 cdot e^0,385 cdot 10,4
Então:
0,385 cdot 10,4 approx 4,004

Resposta

Após 10,4 horas, haverá aproximadamente 1.751 bactérias na cultura.

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