A tabela abaixo fornece o número de bactérias (por unidade de volume) existentes em uma cultura após x horas.
de horas
0
1
2
3
4
5
6
de bactérias
32
47
65
92
132
190
275
Determine o número de bactérias depois de 10,4 horas.
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
Passo 1
O problema nos mostra uma tabela com a quantidade de bactérias por unidade de volume em diferentes horários, de 0 a 6 horas. Precisamos descobrir quantas bactérias teremos após 10,4 horas. Vamos usar conceitos de modelagem matemática de crescimento e interpolação/extrapolação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os dados que temos:
Observamos que o número de bactérias está crescendo a cada hora. Isso sugere que podemos modelar esse crescimento com uma função exponencial, que é comum para populações bacterianas.
Passo 3
A forma geral de uma função exponencial é:
Onde:
- $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
- $ k $ é a taxa de crescimento.
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
Vamos usar os dados para encontrar os valores de $ N_0 $ e $ k $.
Passo 4
Sabemos que quando $ t = 0 $, $ N(0) = 32 $. Substituindo na equação:
Agora, temos:
Passo 5
Para encontrar $ k $, pegamos outro ponto da tabela, por exemplo, $ t = 1 $ hora com $ N(1) = 47 $:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos $ k $, a função fica:
Passo 7
Para encontrar o número de bactérias após 10,4 horas, substituímos $ t = 10,4 $:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Após 10,4 horas, haverá aproximadamente 1.751 bactérias na cultura.