Determine as raizes da função f(x)=0.2 x^3-3.006 x^2+15.06 x-25.15, usando a Aproximação Sucessiva com E=0.001.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as raízes da função $ f(x) = 0.2x^{3} - 3.006x^{2} + 15.06x - 25.15 $ usando a Aproximação Sucessiva com um erro máximo de $ E = 0.001 $. Isso significa que queremos descobrir quais valores de $ x $ fazem com que $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar um método iterativo, tipo o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $, já que no Método de Newton-Raphson usamos ela para melhorar nossas aproximações. A derivada é:
f(x)

Passo 3

Agora, o Método de Newton-Raphson funciona assim: começamos com um palpite inicial $ x_0 $ e usamos a fórmula de iteração:
x0
Vamos precisar escolher um bom palpite inicial. Olhando para a função, percebemos que quando $ x = 0 $, $ f(0) = -25.15 $ e quando $ x = 5 $, $ f(5) $ dá um valor positivo (podemos calcular isso rapidamente). Então, sabemos que há uma raiz entre 0 e 5. Vamos começar com $ x_0 = 5 $.

Passo 4

Vamos calcular $ x_1 $ usando a fórmula:
x1
f(5) = 0.2(5)^3 - 3.006(5)^2 + 15.06(5) - 25.15 = 25 - 75.3 + 75.3 - 25.15 = -0.15
Ops! Derivada zero não funciona porque não podemos dividir por zero. Precisamos escolher outro palpite. Vamos tentar $ x_0 = 4 $.

Passo 5

Calculando com $ x_0 = 4 $:
x0 = 4
f(4) = 0.2(4)^3 - 3.006(4)^2 + 15.06(4) - 25.15 = 12.8 - 48.096 + 60.24 - 25.15 = -0.206
Agora, aplicamos a fórmula:
f'(4) = 0.6(4)^2 - 6.012(4) + 15.06 = 9.6 - 24.048 + 15.06 = 0.612

Passo 6

Vamos para a próxima iteração com $ x_1 = 4.336 $:
x1 = 4.336
f(4.336) = 0.2(4.336)^3 - 3.006(4.336)^2 + 15.06(4.336) - 25.15 approx 0.2(81.353) - 3.006(18.78) + 65.278 - 25.15 approx 16.271 - 56.455 + 65.278 - 25.15 approx -0.056
Então:
f'(4.336) = 0.6(4.336)^2 - 6.012(4.336) + 15.06 approx 0.6(18.78) - 26.07 + 15.06 approx 11.268 - 26.07 + 15.06 approx 0.258

Passo 7

Mais uma iteração com $ x_2 = 4.553 $:
x2 = 4.553
f(4.553) approx 0.2(94.044) - 3.006(20.7) + 15.06(4.553) - 25.15 approx 18.809 - 62.142 + 68.55 - 25.15 approx -0.0
Calculando $ x_3 $:
f'(4.553) approx 0.6(20.7) - 6.012(4.553) + 15.06 approx 12.42 - 27.34 + 15.06 approx 0.14

Resposta

Aproximadamente, a raiz da função $ f(x) = 0.2x^{3} - 3.006x^{2} + 15.06x - 25.15 $ é $ x \approx 4.553 $ com um erro menor que $ E = 0.001 $.

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