Determine as raizes da função
, usando a Aproximação Sucessiva com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as raízes da função $ f(x) = 0.2x^{3} - 3.006x^{2} + 15.06x - 25.15 $ usando a Aproximação Sucessiva com um erro máximo de $ E = 0.001 $. Isso significa que queremos descobrir quais valores de $ x $ fazem com que $ f(x) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar um método iterativo, tipo o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $, já que no Método de Newton-Raphson usamos ela para melhorar nossas aproximações. A derivada é:
Passo 3
Agora, o Método de Newton-Raphson funciona assim: começamos com um palpite inicial $ x_0 $ e usamos a fórmula de iteração:
Vamos precisar escolher um bom palpite inicial. Olhando para a função, percebemos que quando $ x = 0 $, $ f(0) = -25.15 $ e quando $ x = 5 $, $ f(5) $ dá um valor positivo (podemos calcular isso rapidamente). Então, sabemos que há uma raiz entre 0 e 5. Vamos começar com $ x_0 = 5 $.
Passo 4
Vamos calcular $ x_1 $ usando a fórmula:
Ops! Derivada zero não funciona porque não podemos dividir por zero. Precisamos escolher outro palpite. Vamos tentar $ x_0 = 4 $.
Passo 5
Calculando com $ x_0 = 4 $:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 6
Vamos para a próxima iteração com $ x_1 = 4.336 $:
Então:
Passo 7
Mais uma iteração com $ x_2 = 4.553 $:
Calculando $ x_3 $:
Resposta
Aproximadamente, a raiz da função $ f(x) = 0.2x^{3} - 3.006x^{2} + 15.06x - 25.15 $ é $ x \approx 4.553 $ com um erro menor que $ E = 0.001 $.