Determine qual é a base beta para que se tenha a seguinte igualdade
(100)beta=(24)beta+(32)beta

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Determine qual é a base (100)beta ;=; (24)beta ;+; (32)beta para que
Isso é exercício de representação de números em base qualquer e soma polinomial. A gente vai precisar lembrar que cada dígito num número em base vale aquele dígito vezes uma potência de , montar a equação resultante e resolver uma equação do 2º grau.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos traduzir cada numeral para “polinômio em ”.

  • Aqui a ideia é: na base , o termo mais à esquerda é sempre potência maior ( pra “centena”), o próximo é e assim por diante.

Passo 3

Agora somamos os dois últimos e igualamos ao primeiro:
beta^2 ;=; (2beta + 4) + (3beta + 2)
No lado direito, juntamos termos iguais:
2beta + 3beta = 5beta e 4 + 2 = 6,
logo
beta^2 = 5beta + 6

Passo 4

Isso é uma equação do 2º grau:
beta^2 - 5beta - 6 = 0
Calculamos o discriminante De:
beta = 5 pm raiz492 = 5 pm 72
então
beta1 = 5+72 = 6, beta2 = 5-72 = -1
As soluções são

Passo 5

Como base de numeração tem de ser um inteiro maior que todos os dígitos usados (e não pode ser negativa), escolhemos (afinal, não funciona e tem que ser maior que 4, que é o maior dígito que apareceu).

Resposta

Exercícios relacionados