Determine os coeficientes
para os quais o valor da integral
seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente achar os valores de
,
e
que façam a integral
ser a menor possível. Isso é um problema de aproximação em “mínimos quadrados” (L²): estamos aproximando
por um polinômio de 2º grau e queremos “encaixar” esse polinômio minimizando a área do erro ao quadrado. Para resolver, vamos usar a ideia de derivar essa integral em relação a cada coeficiente (
) e igualar a zero — isso gera as chamadas equações normais.
Passo 2
Primeiro, montamos a função que vamos minimizar:
Para achar o mínimo, calculamos
Essas igualdades dizem, na prática, que o “resíduo”
é ortogonal (no sentido L²) às funções
,
e
. Cada derivada vira uma integral do tipo
com
sendo
,
ou
.
Passo 3
Vamos calcular os termos gerais de que precisamos:
Definimos
Definimos
para
.
-
-
(função ímpar). -
-
(ímpar). -
. Como é par, -
(ímpar×par = ímpar).
Agora cada condição de ortogonalidade dá uma equação:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Sabendo que
e
, as duas primeiras já simplificam bastante.
Passo 4
Escrevendo cada uma:
Das duas equações em
e
(passo 1 e passo 3) só existe solução não-trivial se
. Então:
e já tínhamos
.
Resposta
Os coeficientes que minimizam a integral são