Determine os coeficientes a, b, c para os quais o valor da integral
integral-pi^pi(sin x-a-b x-c x^2)^2 d x
seja o menor possível.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar os valores de integral-pi^pil(sin x - a - b x - c x^2r)^2 ,dx , e que façam a integral
ser a menor possível. Isso é um problema de aproximação em “mínimos quadrados” (L²): estamos aproximando por um polinômio de 2º grau e queremos “encaixar” esse polinômio minimizando a área do erro ao quadrado. Para resolver, vamos usar a ideia de derivar essa integral em relação a cada coeficiente ( ) e igualar a zero — isso gera as chamadas equações normais.

Passo 2

Primeiro, montamos a função que vamos minimizar:
J(a,b,c) = integral-pi^pil(sin x - a - b x - c x^2r)^2 ,dx
Para achar o mínimo, calculamos
partial Jpartial a=0, partial Jpartial b=0, partial Jpartial c=0
Essas igualdades dizem, na prática, que o “resíduo” integral-pi^pi l(sin x - a - b x - c x^2r),phi(x),dx = 0, é ortogonal (no sentido L²) às funções , e . Cada derivada vira uma integral do tipo
com sendo , ou .

Passo 3

Vamos calcular os termos gerais de que precisamos:
Definimos
Sk = integral-pi^pi x^k,dx, Ik = integral-pi^pi x^ksin x,dx,
para I1 = 2integral0^pi xsin x,dx = 2l[-xcos x + sin xr]0^pi = 2l[pi + 0r] = 2pi .
  1. (função ímpar).
  2. (ímpar).
  3. . Como é par,
  4. (ímpar×par = ímpar).
Agora cada condição de ortogonalidade dá uma equação:
(1)
(2)
(3)
Sabendo que e , as duas primeiras já simplificam bastante.

Passo 4

Escrevendo cada uma:
  1. c = 0, daí 2pi,a = 0 ;Rightarrow; a=0,
Das duas equações em e (passo 1 e passo 3) só existe solução não-trivial se . Então:
í
e já tínhamos .

Resposta

Os coeficientes que minimizam a integral são
boxeda = 0, b = 3pi^2, c = 0

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