Seja f(x)=pi-|x| definida no intervalo [-pi, pi].
Qual das duas aproximações, a harmônica da parte (a) ou a polinomial da parte (b), é a que envolve o menor erro quadrático? Justifique.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a função é
f(x)=pi - |x|, xin[-pi,pi]
e que em (a) fizemos uma aproximação harmônica (ou seja, somatório de senos e cossenos – a Série de Fourier parcial), e em (b) uma aproximação por polinômio (por exemplo, Taylor ou interpolador). A pergunta é: qual dessas duas tem menor erro quadrático (ou seja, menor )?
Conteúdo envolvido: erro em norma , projeções ortogonais em espaços de funções, Série de Fourier e aproximações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, o que é erro quadrático (norma E = integral-pi^pil(f(x)-g(x)r)^2,dx, )?
Erro quadrático =
onde é a nossa aproximação. Em espaços de funções, se você projeta num subespaço (por exemplo, o espaço gerado por ), essa projeção é justamente a escolha de que minimiza esse .

Passo 3

Na aproximação harmônica (parte a), usamos exatamente esse princípio: escolhemos como a soma dos primeiros termos da Série de Fourier de . Por construção de projeção ortogonal, essa soma minimiza o erro quadrático entre todas as combinações de senos e cossenos até aquela ordem.
Já na aproximação polinomial (parte b), raramente usamos a base ortogonal para norma no intervalo (a menos que sejam polinômios de Legendre). Se for só Taylor ou interpolação em pontos, não há garantia de minimizar o integral do quadrado do erro em todo o intervalo.

Passo 4

Resumo da comparação:
  • Aproximação harmônica = projeção ortogonal de num subespaço trigonométrico → minimiza .
  • Aproximação polinomial “padrão” = não necessariamente ortogonal em → geralmente erro maior.

Resposta

A aproximação harmônica da parte (a) é a que envolve o menor erro quadrático, porque a Série de Fourier parcial é, por definição, a projeção ortogonal de num espaço de funções trigonométricas, garantindo o mínimo possível de .

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