Seja
definida no intervalo
.
Qual das duas aproximações, a harmônica da parte (a) ou a polinomial da parte (b), é a que envolve o menor erro quadrático? Justifique.
Qual das duas aproximações, a harmônica da parte (a) ou a polinomial da parte (b), é a que envolve o menor erro quadrático? Justifique.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a função é
e que em (a) fizemos uma aproximação harmônica (ou seja, somatório de senos e cossenos – a Série de Fourier parcial), e em (b) uma aproximação por polinômio (por exemplo, Taylor ou interpolador). A pergunta é: qual dessas duas tem menor erro quadrático (ou seja, menor
)?
Conteúdo envolvido: erro em norma , projeções ortogonais em espaços de funções, Série de Fourier e aproximações polinomiais.
Conteúdo envolvido: erro em norma
Passo 2
Primeiro, o que é erro quadrático (norma
)?
Erro quadrático =
Erro quadrático =
onde
é a nossa aproximação. Em espaços de funções, se você projeta
num subespaço
(por exemplo, o espaço gerado por
), essa projeção é justamente a escolha de
que minimiza esse
.
Passo 3
Na aproximação harmônica (parte a), usamos exatamente esse princípio: escolhemos como
a soma dos primeiros termos da Série de Fourier de
. Por construção de projeção ortogonal, essa soma minimiza o erro quadrático entre todas as combinações de senos e cossenos até aquela ordem.
Já na aproximação polinomial (parte b), raramente usamos a base ortogonal para norma
no intervalo
(a menos que sejam polinômios de Legendre). Se for só Taylor ou interpolação em pontos, não há garantia de minimizar o integral do quadrado do erro em todo o intervalo.
Passo 4
Resumo da comparação:
- Aproximação harmônica = projeção ortogonal de
num subespaço trigonométrico → minimiza . - Aproximação polinomial “padrão” = não necessariamente ortogonal em
→ geralmente erro maior.
Resposta
A aproximação harmônica da parte (a) é a que envolve o menor erro quadrático, porque a Série de Fourier parcial é, por definição, a projeção ortogonal de
num espaço de funções trigonométricas, garantindo o mínimo possível de
.