Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela abaixo.
Altura (m) 192 180 150 115 72
Tempo (s) 1 2 3 4 5
Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura do prédio h, a velocidade inicial de lançamento v0 e o valor da aceleração da gravidade g.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um objeto foi lançado do alto de um prédio e temos as alturas medidas em cada segundo (t = 1,2,3,4,5 s). A ideia é usar o método dos mínimos quadrados para ajustar um modelo de movimento vertical e estimar:
  • h = altura inicial do prédio,
  • v₀ = velocidade do lançamento,
  • g = aceleração da gravidade.
Conteúdo aplicado: regressão linear via mínimos quadrados (ajuste de polinômio de 2º grau), montagem das equações normais e resolução de sistema linear.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o modelo físico de queda/lançamento vertical:
y(t) = h + v0,t - tfrac12,g,t^2,
onde y = a + b,t + c,t^2, é a altura no instante a = h, b = v0, c = -tfrac12,g . Isso é um polinômio em sum yi = n,a + (sum ti),b + (sum ti^2),c, sum ti yi = (sum ti),a + (sum ti^2),b + (sum ti^3),c, sum ti^2 yi = (sum ti^2),a + (sum ti^3),b + (sum ti^4),c . Para usar mínimos quadrados, renomeamos parâmetros:
sendo
Nosso objetivo é achar , , que minimizam . A teoria diz que isso leva ao sistema das equações normais:

Passo 3

Vamos calcular os somatórios usando os dados:
tᵢ: 1,2,3,4,5
yᵢ: 192,180,150,115,72
n &= 5, sum ti &= 1+2+3+4+5 = 15, sum ti^2 &= 1+4+9+16+25 = 55, sum ti^3 &= 1+8+27+64+125 = 225, sum ti^4 &= 1+16+81+256+625 = 979, sum yi &= 192+180+150+115+72 = 709, sum ti,yi &= 192cdot1+180cdot2+150cdot3+115cdot4+72cdot5 = 1822, sum ti^2,yi &= 192cdot1+180cdot4+150cdot9+115cdot16+72cdot25 = 5902
Substituindo nas normais:
709 = 5a + 15b + 55c, 1822 = 15a + 55b + 225c, 5902 = 55a + 225b + 979c

Passo 4

Resolvendo por eliminação (Gauss), chegamos a:
a approx 199.8, b approx -1.79, c approx -4.79
Ou seja, nosso ajuste polinomial ficou
y = 199.8 ;+;(-1.79),t ;+;(-4.79),t^2

Passo 5

Voltando aos parâmetros físicos:
a = h Rightarrow h approx 199.8 m,
b = v0 Rightarrow v0 approx -1.79 m/s,
c = -tfrac12,g Rightarrow g = -2,c approx -2times(-4.79) = 9.57 m/s^2

Resposta

h ≈ 199.8 m;
v₀ ≈ –1.79 m/s;
g ≈ 9.57 m/s².

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