Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela abaixo.
Altura (m) | 192 | 180 | 150 | 115 | 72 |
---|---|---|---|---|---|
Tempo (s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura do prédio
, a velocidade inicial de lançamento
e o valor da aceleração da gravidade
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um objeto foi lançado do alto de um prédio e temos as alturas medidas em cada segundo (t = 1,2,3,4,5 s). A ideia é usar o método dos mínimos quadrados para ajustar um modelo de movimento vertical e estimar:
- h = altura inicial do prédio,
- v₀ = velocidade do lançamento,
- g = aceleração da gravidade.
Conteúdo aplicado: regressão linear via mínimos quadrados (ajuste de polinômio de 2º grau), montagem das equações normais e resolução de sistema linear.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o modelo físico de queda/lançamento vertical:
onde
é a altura no instante
. Isso é um polinômio em
. Para usar mínimos quadrados, renomeamos parâmetros:
sendo
Nosso objetivo é achar
,
,
que minimizam
. A teoria diz que isso leva ao sistema das equações normais:
Passo 3
Vamos calcular os somatórios usando os dados:
tᵢ: 1,2,3,4,5
yᵢ: 192,180,150,115,72
yᵢ: 192,180,150,115,72
Substituindo nas normais:
Passo 4
Resolvendo por eliminação (Gauss), chegamos a:
Ou seja, nosso ajuste polinomial ficou
Passo 5
Voltando aos parâmetros físicos:
Resposta
h ≈ 199.8 m;
v₀ ≈ –1.79 m/s;
g ≈ 9.57 m/s².
v₀ ≈ –1.79 m/s;
g ≈ 9.57 m/s².