Determine os coeficientes do polinômio p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a funçáo f(x)=(3.93367) \exp (-0.668806 x) no intervalo [0,1] como produto interno \langle g, h\rangle=\int_{0}^{1} g(x) h(x) d x.
Sugestão: calcule este produto interno usando a quadratura gaussiana.
Digite os coeficientes do polinômio encontrado (com pelo menos 4 dígitos corretos): \boldsymbol{a}_{\mathbf{0}}= □ a_{1}= □ a_{2}= □
Dados da questão:
3.933670088311297
-0.6688056436393044
Passo 1
O enunciado pede: determinar os coeficientes do polinômio de grau 2
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
que melhor aproxima, no sentido do erro quadrático (produto interno \langle g,h\rangle=\int_{0}^{1} g(x)h(x)\,dx ), a função
O objetivo é fornecer a_{0},a_{1},a_{2} numéricos (com pelo menos 4 dígitos corretos).
Passo 2
Ideia do método (passo didático): o polinômio de grau \le2 que minimiza o erro quadrático é a projeção ortogonal de f sobre o subespaço gerado por \{1,x,x^{2}\}. Isso leva ao sistema linear (equações normais)
para i,j=1,2,3. Vou montar G explicitamente e calcular os b_{i} (essas integrais podem ser feitas analiticamente para f(x)=C e^{-kx}, o que evita aproximações desnecessárias).
Passo 3
Cálculo da matriz de Gram G (valores exatos pelo integral de potências):
Numericamente, primeiro avaliamos e^{-k}. Usando uma expansão exponencial ou cálculo direto obtemos (aproximação com precisão suficiente para 4 dígitos finais):
e^{-k}\approx 0{,}5123201046903478.
Agora calculamos I_{0},I_{1},I_{2} com essa aproximação:
Esses valores de I_{0},I_{1},I_{2} são suficientes para obter coeficientes com pelo menos 4 dígitos corretos.
Passo 6
Montamos o vetor \mathbf{b}=C\,(I_{0},I_{1},I_{2})^{T}. Com C=3{,}933670088311297:
\begin{aligned} b_{0} &= C I_{0} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}7291802932 \approx 2{,}8683547090,\\[4pt] b_{1} &= C I_{1} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}324249900 \approx 1{,}2754921330,\\[4pt] b_{2} &= C I_{2} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}20361825 \approx 0{,}8009669980. \end{aligned}
(Arredondei mantendo mais casas que o necessário para garantir 4 dígitos corretos nos coeficientes finais.)]
Passo 7
Resolvendo o sistema G\mathbf{a}=\mathbf{b} por eliminação gaussiana, é conveniente usar as expressões racionais exatas da matriz G. Faço a eliminação de forma exata em termos de frações:
Após eliminar a primeira coluna com combinações adequadas, obtém-se as equações reduzidas (usando frações exatas):