Determine os coeficientes do polinômio p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que melhor aproxime (segundo o erro quadrático) a funçáo f(x)=(3.93367) \exp (-0.668806 x) no intervalo [0,1] como produto interno
\langle g, h\rangle=\int_{0}^{1} g(x) h(x) d x.
Sugestão: calcule este produto interno usando a quadratura gaussiana.
Digite os coeficientes do polinômio encontrado (com pelo menos 4 dígitos corretos):
\boldsymbol{a}_{\mathbf{0}}=
a_{1}=
a_{2}=
Dados da questão:
3.933670088311297
-0.6688056436393044

Passo 1

O enunciado pede: determinar os coeficientes do polinômio de grau 2
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}
que melhor aproxima, no sentido do erro quadrático (produto interno \langle g,h\rangle=\int_{0}^{1} g(x)h(x)\,dx ), a função
f(x) = (3{,}933670088311297)\,\exp(-0{,}6688056436393044\,x)
no intervalo [0,1].
Informações relevantes dadas:
C=3{,}933670088311297,\qquad k=0{,}6688056436393044, \qquad f(x)=C e^{-kx}.
O objetivo é fornecer a_{0},a_{1},a_{2} numéricos (com pelo menos 4 dígitos corretos).

Passo 2

Ideia do método (passo didático): o polinômio de grau \le2 que minimiza o erro quadrático é a projeção ortogonal de f sobre o subespaço gerado por \{1,x,x^{2}\}. Isso leva ao sistema linear (equações normais)
G\,\mathbf{a}=\mathbf{b},
onde \mathbf{a}=(a_{0},a_{1},a_{2})^{T}, com
G_{ij}=\langle x^{i-1},x^{j-1}\rangle=\int_{0}^{1} x^{i+j-2}\,dx, \qquad b_{i}=\langle f,x^{i-1}\rangle=\int_{0}^{1} f(x)x^{i-1}\,dx,
para i,j=1,2,3. Vou montar G explicitamente e calcular os b_{i} (essas integrais podem ser feitas analiticamente para f(x)=C e^{-kx}, o que evita aproximações desnecessárias).

Passo 3

Cálculo da matriz de Gram G (valores exatos pelo integral de potências):
\int_{0}^{1} x^{n}\,dx=\frac{1}{n+1},
logo, com n=i+j-2,
G=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo das integrais do lado direito b_{0},b_{1},b_{2}. Usamos integrais exatas de x^{m}e^{-kx} em [0,1]:
  • Para m=0:
I_{0}=\int_{0}^{1} e^{-kx}\,dx=\frac{1-e^{-k}}{k}.
  • Para m=1 (integração por partes):
I_{1}=\int_{0}^{1} x e^{-kx}\,dx=\frac{1-e^{-k}(1+k)}{k^{2}}.
  • Para m=2 (duas partes):
I_{2}=\int_{0}^{1} x^{2} e^{-kx}\,dx =\frac{2-e^{-k}\bigl(k^{2}+2k+2\bigr)}{k^{3}}.
Os termos do vetor \mathbf{b} são b_{i}=C\,I_{i-1}, isto é
b_{0}=C I_{0},\quad b_{1}=C I_{1},\quad b_{2}=C I_{2}.

Passo 5

Numericamente, primeiro avaliamos e^{-k}. Usando uma expansão exponencial ou cálculo direto obtemos (aproximação com precisão suficiente para 4 dígitos finais):
e^{-k}\approx 0{,}5123201046903478.
Agora calculamos I_{0},I_{1},I_{2} com essa aproximação:
  • Calcule I_{0}=\dfrac{1-e^{-k}}{k}.
1-e^{-k}\approx 0{,}4876798953096522,\qquad I_{0}\approx\frac{0{,}4876798953096522}{0{,}6688056436393044} \approx 0{,}7291802932.
  • Calcule I_{1}=\dfrac{1-e^{-k}(1+k)}{k^{2}}.
e^{-k}(1+k)\approx 0{,}8549626821130453,
1-e^{-k}(1+k)\approx 0{,}1450373178869547,
k^{2}\approx 0{,}447300987723\quad(\text{aprox.}),
I_{1}\approx\frac{0{,}1450373178869547}{0{,}447300987723}\approx 0{,}324249900.
  • Calcule I_{2}=\dfrac{2-e^{-k}(k^{2}+2k+2)}{k^{3}}.
k^{2}+2k+2\approx 3{,}7849122750016088,
e^{-k}(k^{2}+2k+2)\approx 1{,}939086653,
2-e^{-k}(\dots)\approx 0{,}060913347,
k^{3}\approx 0{,}299157424\quad(\text{aprox.}),
I_{2}\approx\frac{0{,}060913347}{0{,}299157424}\approx 0{,}20361825.
Esses valores de I_{0},I_{1},I_{2} são suficientes para obter coeficientes com pelo menos 4 dígitos corretos.

Passo 6

Montamos o vetor \mathbf{b}=C\,(I_{0},I_{1},I_{2})^{T}. Com C=3{,}933670088311297:
\begin{aligned} b_{0} &= C I_{0} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}7291802932 \approx 2{,}8683547090,\\[4pt] b_{1} &= C I_{1} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}324249900 \approx 1{,}2754921330,\\[4pt] b_{2} &= C I_{2} \approx 3{,}933670088311297\times 0{,}20361825 \approx 0{,}8009669980. \end{aligned}
(Arredondei mantendo mais casas que o necessário para garantir 4 dígitos corretos nos coeficientes finais.)]

Passo 7

Resolvendo o sistema G\mathbf{a}=\mathbf{b} por eliminação gaussiana, é conveniente usar as expressões racionais exatas da matriz G. Faço a eliminação de forma exata em termos de frações:
Após eliminar a primeira coluna com combinações adequadas, obtém-se as equações reduzidas (usando frações exatas):
\frac{1}{12}a_{1}+\frac{1}{12}a_{2}=b_{1}-\frac{1}{2}b_{0},
\frac{1}{180}a_{2}=b_{2}-b_{1}+\frac{1}{6}b_{0}.
Da segunda equação temos a fórmula direta (muito útil numericamente):
a_{2}=180\left(b_{2}-b_{1}+\frac{b_{0}}{6}\right).
Depois
a_{1}=12\left(b_{1}-\frac{b_{0}}{2}\right)-a_{2},
e finalmente
a_{0}=b_{0}-\frac{1}{2}a_{1}-\frac{1}{3}a_{2}.
Essas fórmulas vêm diretamente da eliminação com as frações exatas da matriz de Gram (evitam perda desnecessária de precisão).

Passo 8

Substituindo os valores numéricos de b_{0},b_{1},b_{2}:
Calcule a_{2}:
b_{2}-b_{1}+\frac{b_{0}}{6} \approx 0{,}8009669980 - 1{,}2754921330 + \frac{2{,}8683547090}{6} \approx 0{,}0035339831666667,
a_{2}=180\times 0{,}0035339831666667 \approx 0{,}63611697.
Calcule a_{1}:
12\left(b_{1}-\frac{b_{0}}{2}\right) =12\left(1{,}2754921330-\frac{2{,}8683547090}{2}\right) =12\times(-0{,}1586852215)\approx -1{,}904222658,
a_{1}=-1{,}904222658 - a_{2}\approx -1{,}904222658 - 0{,}63611697 \approx -2{,}540339628.
Calcule a_{0}:
a_{0}=b_{0}-\frac{1}{2}a_{1}-\frac{1}{3}a_{2} \approx 2{,}8683547090 -\frac{1}{2}(-2{,}540339628)-\frac{1}{3}(0{,}63611697)
\approx 2{,}8683547090 +1{,}270169814 -0{,}21203899 \approx 3{,}926485533.
Portanto, com precisão suficiente para garantir pelo menos 4 dígitos corretos, obtemos os coeficientes acima.

Resposta

a_{0}=3{,}926485533
a_{1}=-2{,}540339628
a_{2}=0{,}636116970

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